Zeigen oder widerlegen Sie: Durch A ≥ B : ⇐⇒ A − B positiv semidefinit wird eine Halbordnung definiert.

Question

Aufgabe:

Sei Sym(n) = { A ∈ R^n×n : A = A^⊤ } die Menge aller symmetrischen Matrizen der Größe n × n. Zeigen oder widerlegen Sie:
Durch A ≥ B : ⇐⇒ A − B positiv semidefinit wird auf Sym(n) eine Halbordnung definiert.

Problem/Ansatz:

Reflexivität und Antisymmetrie habe ich schon bewiesen, aber kann mir jemand helfen, wie ich die Transitivität noch zeigen kann?

Answer 1

A ≥ B heißt doch einfach x^T A x ≥ x^T B x für alle x.

Comments

Auch bei dieser Definition von ≥? Muss ich nicht zeigen, dass wenn A≥B und B≥C, A-C positiv semidefinit ist?

Answer 2

Wenn \(B-A\) und \(C-B\) positiv semidefinit sind, dann ist \(C-A\) ebenfalls positiv semidefinit, wenn:

\(v^T(C-A)v = v^T([C-B]+[B-A])v = v^T(C-B)v+v^T(B-A)v\geq 0+0=0\), für alle \(v\in \mathbb{R}^n\).

Der wichtige Schritt der Distribution benutzt einfach Linearität und Assoziativität.

Comments

Das meinte ich A≥B ist doch gleichbedeutend mit der Simidefinitheit von A-B.

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Vielen Dank für die Antwort!