Zeige: Matrix ist positiv semidefinit

Question

Aufgabe:

Man soll zeigen, dass die Matrix

\( A=\left[\begin{array}{ccccc}10 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right] \)

Positiv semidefinit ist.

Als Tipp ist gegeben, dass man erst folgendes zeigen soll:
Ist

\( B=\left[\begin{array}{ccc}b_{11} & \ldots & b_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ b_{n 1} & \ldots & b_{n n}\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{(n, n)} \)






so, dass es ein Paar \( i_{1} \neq i_{2} \) und ein \( a \geq 0 \) gibt mit \( b_{i_{1}, i_{1}}=b_{i_{2}, i_{2}}=b_{i_{1}, i_{2}}=b_{i_{2}, i_{1}}=a, \) während alle anderen \( b_{i, j}=0 \) sind. Dann ist \( B \) positiv semidefinit.

Problem/Ansatz:

Die Matrix symmetrisch, nur weiß ich nicht mehr weiter, wir hatten noch keine Determinaten, also kann ich nicht prüfen, ob die eigenwerte positiv sind...

Comments

Interessiert die Antwort noch?

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Ja gerne, würde mich freuen :)

Answer 1

Hallo,

wie bezeichnen mal für \(k>i\) eine Matrix mit

$$b_{i,i}=b_{i,k}=b_{k,i}=b_{k,k}= 1 \text{ und sonst  } b_{l,m}=0$$

mit B(i,k). Die Matrix im Hinweis wäre dann \(aB(i_1,i_2)\). Für \(x \in \mathbb{R}^n\) berechnen wir \(y:=B(i,k)\) und dann

\(x^T\cdot y=\langle x,Bx\rangle\): Für y gilt:

$$y_i=x_i+x_k, \quad y_k=x_i+x_k, \quad y_j=0 \text{ sonst}$$

Und daher

$$x^T \cdot y=x_i y_i+x_k y_k=(x_i+x_k)^2 \geq 0$$

Dann ist natürlich auch \(\langle x, aB(i,k)x\rangle \geq 0\).

Die Lösung der Aufgabe ergibt sich jetzt, weil die angegebene Matrix gleich ist zu

$$B(1,2)+2B(1,3)+3B(1,4)+4B(1,5)$$

Gruß

Comments

Wie genau ergibt sich

B(1,2)+2B(1,3)+3B(1,4)+4B(1,5) ? Könntest du das bitte nochmal erklären?

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Hallo,

am besten schreibst Du Dir mal die 4 Matrizen B(1,i) hin multiplizierst sie jeweils mit (i-1) und addierst sie, dann erhältst Du die Matrix aus der Aufgabenstellung.

Gruß