Die erste Aussage ist klar, denn ist z.B. eine \( k \times k \) Hauptabschnitzmatrix nicht positiv definit, so gibt es \( x\in \mathbb{R}^{k} \) mit
\( x^{\top} \mathbf{A}_{\mathrm{k}} \boldsymbol{x} \leqslant 0 \)
und somit
\( \left[\begin{array}{ll} x^{\top} & 0_{n-k} \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}_{k} & \mathbf{B}_{k, n-k} \\ \mathbf{C}_{n-k, k} & \mathbf{D}_{n-k, n-k} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x \\ 0_{n-k} \end{array}\right]=x^{\top} \mathbf{A}_{k} x \leqslant 0 \)
was der positiv Definitheit von \( \boldsymbol{A} \) widersprechen würde.
Das zweite folgt dann direkt, da alle Eigenwerte wegen der (symmetrischen) positiv Definitheit positiv sind.
