Zeige. Es gibt positiv definite symmetrische Matrix B mit B^2=A.

Question

Sei \(A\in M_n(\mathbb{R})\) eine positiv definite symmetrische Matrix. Zeigen sie, dass es eine positiv definite symmetrische Matrix B gibt mit \(B^2=A\)

Answer 1

A ist diagonalisierbar, somit gibt es eine invertierbare Matrix S mit

 A=S^-1DS,

wobei D=diag(s_1,...,s_n) und s_1,...,s_n die Eigenwerte von A sind (diese sind positiv).

Setze $w_j:=√s_j  für j=1,...,n und W:=diag(w_1,...,w_n) und dann B:=S^-1DS

Zeig, dass B das gewünschte leistet.

FRED

Answer 2

  Reden wir nicht so viel herum. Ich gehe gleich in die Diagonaldarstellung von A . Ist E ( i ) ein Eigernwert  von A , so folgt zwangsläufig sqr [ E ( i ) ] als der entsprechende Eigenwert von B .