Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Fehlern bei x-Anzahl von Einzelschritten?

Question

Etwas detailierter: Ich habe vor mir zwei Prozesse, die Prozesse unterteilen sich in mehrere Einzelschritte, bei Prozess 1 = 27 Einzelschritte, bei Prozess 2 = 36 Schritte. Man kann annehmen, dass die Einzelschritte gleich sind, nur die Anzahl der Einzelschritte pro Prozess variiert. Es ist klar, dass je mehr Schritte ein Prozess hat, desto wahrscheinlicher kann es zu einem Fehler kommen, doch wie berechne ich diese Wahrscheinlichkeit? Kann mir da jemand einen Tipp geben? Kann man das überhaupt ohne weitere Angaben berechnen?

Answer 1

Bei 27 Einzeschritten mit Fehlerwahrscheinlichkeit von p je Einzelschritt ist ein Einzelschritt mit der Wahrscheinlichkeit 1-p erfolgreich. Mit der Wahrscheinlichkeit (1-p)²⁷ sind alle 27 Einzelschritte erfolgreich. Mit der Wahrscheinlichkeit 1-(1-p)²⁷ sind nicht alle 27 Einzelschritte erfolgreich, tritt also mindestens ein Fehler auf.

Comments

Also ich habe folgendes berechnet:

Ich ging vom folgenden aus: Jedes 10 mal (10% = 0,1) passiert ein Fehler, von diesem einem mal (von 10) kommt es zu 10% zum Stolpern, zu 12% dass er angesprochen wird und zu 5% dass er am Stapler hängen bleibt. Ich habe folgendes berechnet:

Einzelwahrscheinlichkeiten: 10% + 12% + 5% = 27%

Da es jedes 10te mal ist: 27% * 0,1 = 2,7%, dass es pro Einzelschritt zum Fehler kommt.

Also versehe ich das richtig, dass ich jetzt diese 2,7% usw. alle addieren muss, dann habe ich die gesamte Wahrscheinlichkeit raus?

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> Da es jedes 10te mal ist: 27% * 0,1 = 2,7%, dass es pro Einzelschritt zum Fehler kommt.

Nein. Du sagtest bereits "Jedes 10 mal (10% = 0,1) passiert ein Fehler". Also ist 10% die Wahrscheinlichkeit, dass es pro Einzelschritt zum Fehler kommt.

Die 2,7%, die du berechnet hast, ist die Wahrscheinlickeit, dass ein Fehler passiert, der durch Stolpern, "Angesprochen werden" oder "am Stapler hängen bleiben" verursacht wird. Natürlich nur unter der Voraussatzung, dass sich diese Ereignisse ausschließen, dass es also zum Beispiel nicht möglich ist, am Stapler hängen zu bleiben weil man angesprochen wurde.

Die restlichen 7,3%, die noch zu den 10% fehlen, passiert ein Fehler der auf eine andere Ursache zurückzuführen ist.

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Ok, sagen wir mal, dass ich die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Schritte kenne, also zb beim Einzelschritt 1 kommt es zu 8% zum Fehler, beim Schritt 2 kommt es zu 12% Fehler usw..., wie kann ich nun die gesamte Wahrscheinlichkeit der 27 Schritte zusammenfassen? Muss ich diese einfach zusammen addieren?

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> Muss ich diese einfach zusammen addieren?

Dann wärest du bei 11 Schritten mit Fehlerwahrscheinlichkeit von je 10% bei 110% Fehlerwahrscheinlichkeit. Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0% und 100%.

Du musst für jeden Einzelschritt die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass der Einzelschritt erfolgreich verläuft. Diese Wahrscheinlichkeiten musst du multiplizieren. Du bekommst dadurch die Wahrscheinlichkeit, dass alle Schritte erfolgreich sind. Daraus kannst du dann die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass mindestens ein Schritt zu einem Fehler führt.

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Das verstehe ich nicht ganz. Wenn bei einem Einzelschritt die Wahrscheinlichkeit 8% ist, dass es zum fehler kommt, dann sind es ja 92%, dass es nicht zum Fehler kommt. Meinst du dass mit "erfolgreich" verlaufen? Die Einzelnen Wahrscheinlichkeiten habe ich ja, also

Schritt 1: = 3,2% Fehler

Schritt 2: = 3,8% Fehler

Schritt 3: = 4,9% Fehler

...

Also gehen wir mal davon aus, dass ich insgesamt diese 3 Schritte habe und jeweils diese drei Wahrscheinlichkeiten, dass es zum Fehler kommt. Wie kann ich eine Gesamtwahrscheinlichkeit berechnen? Vielleicht %(3,2 + 3,8 + 4,9)/3 = 3,97%? Dann würde ein Prozess mit diesen 3 Schritten ja zu 96,03% fehlerfrei laufen?

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> Wenn bei einem Einzelschritt die Wahrscheinlichkeit 8% ist, dass es zum fehler kommt, dann sind es ja 92%, dass es nicht zum Fehler kommt.

Das ist richtig. Das Ereignis "Kein Fehler" nennt man in diesem Zusammenhang Gegenereignis und die 92% sind die Gegenwahrscheinlichkeit.

> Vielleicht %(3,2 + 3,8 + 4,9)/3 = 3,97%?

Du addierst ja schon wieder ...

Gegenwahrscheinlichkeit bilden, multiplizieren, Gegenwahrscheinlichkeit bilden.

> Schritt 1: = 3,2% Fehler
> Schritt 2: = 3,8% Fehler
> Schritt 3: = 4,9% Fehler

Gegenwahrscheinlichkeiten sind 96,8%, 96,2% und 95,1%.

Multiplikation liefert 96,8/100 · 96,2/100 · 95,1/100 = 885586416/1000000 = 88,5586416%

Gegenwahrscheinlichkeit davon ist 11,4413584%. Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Fehler auftritt.

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Vielen Dank, jetzt hab ichs verstanden!