Wahrscheinlichkeit von Fehlern bei n Bits

Question

Aufgabe:

Wir übertragen einen Bit-String $$b_{1} b_{2} \ldots b_{n}$$ der Länge $n$ über einen fehlerhaften Binär-Kanal. Dabei treten Fehler auf: mit Wahrscheinlichkeit (WS) 3 % wird unabhängig für jedes $$i \in[1 \ldots n]$$ das Bit $$b_{i}$$ als $$1-b_{i}$$ empfangen.
1. Berechnen Sie die WS, dass beim Übertragen kein Bit geändert wird?
2. Berechnen Sie die WS, dass das erste Bit nicht geändert wird und das letzte Bit geändert wird?
3. Berechnen Sie die WS, dass genau $k$ Bits geändert werden?
4. Berechnen Sie die WS, dass höchstens 3 Bits geändert werden?

Ansatz:

1. 0.97^n

2. 0.97*0.03 ? Bin mir da nicht sicher, da dies ja nur aussagt, dass irgendein Bit geändert wurde und nicht das Letzte?

3. 0.03^k

4. 0.97^k+0.97^(k-1)*0.03+0.97^(k-2)*0.03^2+0.97^(k-3)*0.03^3

Sind meine Rechnungen korrekt? Frage eher wegen Nr 2.

Aber im Endeffekt ist es ja 0.97*1*0.03 da die Mitte ja egal ist?

Danke

Answer 1

Aloha :)

1) Alle Bits müssen richtig sein: \(0,97^n\).

2) Das erste und das letzte Bit sind unabhängig voneinander: \(0,97\cdot0,03\).

3) Binomialverteilung: \(\binom{n}{k}0,03^k0,97^{n-k}\)

4) \(0,97^n+\binom{n}{1}0,03^10,97^{n-1}+\binom{n}{2}0,03^20,97^{n-2}+\binom{n}{3}0,03^30,97^{n-3}\)

Comments

Könntest 3 und 4 erklären mir ergeht sich die Binomialverteilung nicht?

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3. Berechnen Sie die WS, dass genau $k$ Bits geändert werden?

3. Berechne die Wahrscheinlichkeit das von n Bits genau k fehlerhaft übertragen werden.

Das ist doch die typische Formulierung bei einer Binomialverteilung oder nicht?

4. Berechnen Sie die WS, dass höchstens 3 Bits geändert werden?

4. Berechne die Wahrscheinlichkeit das von n Bits höchstens 3 Bits fehlerhaft übertragen werden.

4. Berechne die Wahrscheinlichkeit das von n Bits genau 0, 1, 2 oder 3 Bits fehlerhaft übertragen werden.

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Noch Probleme mit Binomialkoeffizienten, diese werden immer genommen um alle möglichen Kombination miteinzubieziehen, oder?

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Ja, wir wissen ja nicht, welche \(k\) Bits von den \(n\) möglichen Bits fehlerhaft sind. Daher müssen wir die möglichen Kombinationen berücksichtigen. Das tut die Binomialverteilung für uns.