Statistik: Bestimmung der Anzahl der Chargen in Abhängigkeit zur Wahrscheinlichkeit der Fehlcharge

Question

Dies ist keine Aufgabe aus dem Mathebuch sondern treibt mich beruflich um. Ich muss gestehen, ich habe keine Ahnung, wie man das Risiko eines Chargenfehlers inkl. damit verbundener Kostensteigerung durch zusätzliche Chargen in ein sinnvolles Verhältnis setzt.

Aufgabe:

Ich muss bestimmen, in wie viele Chargen eine Lieferung aufgeteilt werden muss, damit sie unter Berücksichtigung des rechnerischen Risikos "am Günstigsten" ist.

1. Jede Charge muss unter Verbrauch (Zerstörung) von 15 Stück (= eine Chargenprüfung) vor Auslieferung überprüft werden.

2. Ist die Prüfung negativ (durchgefallen) muss die ganze Charge vernichtet und neu produziert werden.

3. Es müssen insgesamt 75 überprüfte Stück an den Kunden ausgeliefert werden.

4. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Prüfung negativ ist, ist pro Chargenprüfung konstant und sei p.

5. Der Preis pro produziertem Stück, also auch für die Exemplare für die Chargenprüfung, ist konstant und sei xEinzel.

Problem/Ansatz:

xGes: Gesamtkosten

xEinzel: Kosten pro Stück

nGes: Anzahl zu produzierender Stück (inkl. Chargenprüfungen)

nChargen: Anzahl der Chargen

nChargengroesse: Anzahl der Stück pro Charge

p: Wahrscheinlichkeit eines Chargenfehlers bei einer Charge

xGes = xEinzel * nGes

nGes = 75 + nChargen * 15

nChargen(p) = ?

nChargengroesse(p) = ?

Comments

4. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Prüfung negativ ist, ist pro Chargenprüfung konstant und sei p.

Was bedeutet das genau? Wird ein Stück einer Charge oder alle Elemente der Charge geprüft?

Kannst du voraussetzen, dass die "Stücke" oder "Chargen" unabhängig von einander produziert wurden? D.h. "Durchfallen" unabhängig von Reihenfolge der Prüfstücke?

Oder: Welche "Unabhängigkeit" kannst du voraussetzen?

Ist p eher klein oder gross?

Bei der Anzahl von Druckfehlern auf einer Buchseite ist es z.B. üblich mit der Poissonverteilung zu rechnen. https://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Verteilung#Eigenschaften

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Lu. Hattest du 1. gelesen.

1. Jede Charge muss unter Verbrauch (Zerstörung) von 15 Stück (= eine Chargenprüfung) vor Auslieferung überprüft werden.

Was ich mich frage wie viele der 15 Stück negativ sein müssen, damit die ganze Charge als negativ betrachtet wird.

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Danke für Deine Frage, Lu:

Ja, die Chargen können unabhängig voneinander produziert werden. Die Reihenfolge ist egal.

Es wird eine ganze Charge produziert und anschließend werden die 15 Prüfstücke zufällig entnommen und überprüft. Dies ist prozessbedingt erforderlich.

Ich kenne die Kriterien nicht, ob ein oder 5 "ausfallen" müssen, daher habe ich die Abstrahierung auf "eine Chargenprüfung" gewählt.

p ist im Bereich von 0,1 (10%), kann aber von 5-20% liegen. Ich weiß nur, dass der Wert über alle Chargen konstant ist und >0,05 und kleiner <0,3 ist.

Wie müsste ich dann die Poissonverteilung auf meinen Fall umbauen?

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3. Es müssen insgesamt 75 überprüfte Stück an den Kunden ausgeliefert werden.

Heißt es wenn ich eine Charge nehme dann müsste eine Charge 90 Stück enthalten.

Nehme ich zwei Chargen dann brauche ich 105 Stück.

Nehme ich drei Chargen dann brauche ich 120 Stück.

Das jeweils im Optimalfall, dass keine Charge beanstandet wird?

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Ich kenne die Kriterien nicht, ob ein oder 5 "ausfallen" müssen, daher habe ich die Abstrahierung auf "eine Chargenprüfung" gewählt.

Das ist sehr schlecht, weil genau das das Risiko ausmacht. Bei 10% Fehlerquote liegt die Wahrscheinlichkeit nahe bei 80%, dass mind. ein Stück einen Fehler hat. Also würde die ganze Charge mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 80% vernichtet werden, wenn dies bei einem Fehlerhaften Stück geschieht.

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@Der_Mathecoach

Ja, genau das heißt das.

Das ist ja letztendlich die Krux. Mache ich nur eine Charge, habe ich "mit Pech" (Wahrscheinlichkeit p pro Charge), verliere ich die 90 Stück und ich muss auf meine Kosten nochmal produzieren.

Mache ich 3 Chargen, verlieren ich "wahrscheinlich" wenn überhaupt "nur" 40 Stück, muss aber mal eben 30 Stück mehr produzieren.

Edit: Nein Fehlerrate p bezieht sich auf die komplette Chargenprüfung aller 15 Stück, nicht auf das Einzelexemplar. Ich habe eine Wahrscheinlichkeit von p, dass ich eine Fehlcharge habe. Die 15 sind letztendlich nur für die Berechnung der gesamtmenge bzw. den Offset auf der y-Achse relevant, dachte ich zumindest.

Ich kann also Näherungsweise sagen: Wenn ich einen Fehler in der Charge habe, dann finde ich ihn mit 100% Wahrscheinlichkeit durch die Chargenprüfung. Dass ein Fehler in der Charge ist, hat die Wahrscheinlichkeit p.