Zeige: Bei einer symmetrischen, positiv definiten Matrix sind alle Hauptabschnittsmatrizen positiv

Question

Aufgabe:

Zeige: Bei einer symmetrischen, positiv definiten Matrix sind alle Hauptabschnittsmatrizen positiv
definit und alle Hauptabschnittsdeterminanten positiv.

Problem: Wie kann man das zeigen? Habe keine Ahnung

Answer 1

Die erste Aussage ist klar, denn ist z.B. eine $k \times k$ Hauptabschnitzmatrix nicht positiv definit, so gibt es $x\in \mathbb{R}^{k}$ mit
$x^{\top} \mathbf{A}_{\mathrm{k}} \boldsymbol{x} \leqslant 0$
und somit
$\left[\begin{array}{ll} x^{\top} & 0_{n-k} \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}_{k} & \mathbf{B}_{k, n-k} \\ \mathbf{C}_{n-k, k} & \mathbf{D}_{n-k, n-k} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x \\ 0_{n-k} \end{array}\right]=x^{\top} \mathbf{A}_{k} x \leqslant 0$

was der positiv Definitheit von $\boldsymbol{A}$ widersprechen würde.
Das zweite folgt dann direkt, da alle Eigenwerte wegen der (symmetrischen) positiv Definitheit positiv sind.

Comments

Vielen Dank, sehr freundlich.