eine hermitesche matrix heißt positiv semidefinit, wenn....

Question

Eine hermitesche Matrix A ∈ Cn×n heißt positiv semidefinit, wenn für alle v ∈ Cn gilt: vT Av ̄ ≥ 0. Zeigen Sie:

1. (a)  Für beliebige Matrizen B ∈ Cn×n ist die Matrix A := BT B ̄ positiv semidefinit.

2. (b)  Ist A ∈ Cn×n eine positiv semidefinite hermitesche Diagonalmatrix, so gibt es eine Matrix B ∈ Cn×n mit B T B ̄ = A .

3. (c)  Ist A ∈ Cn×n eine beliebige positiv semidefinite hermitesche Matrix, so gibt es eine Matrix B ∈ Cn×n mit B T B ̄ = A .  

Answer 1

(1)  \(v^\top A\overline v=v^\top(B^\top\overline B)\overline v=(Bv)^\top(\overline{Bv})\ge0\).

Comments

Kannst du auch bei den aderen helfen ? Wäre echt dankbar, da ich sei† Stunden nicht weiter komme

Answer 2

2)

Matrix A ist Diagonalmatrix mit a,b,c aus ℝ. Folgt aus Hemritesch. 
Man kann sich vorstellen wie das ganze dann aussehen muss bspw. 
ist klar das B^T   =  B konugiert gilt. Da die Werte auf der Diagonalen reell sind 
sind auch die Werte von BT und B reell. Wähle für B die Werte für die Diagonale
genau die Wurzeln von den Eigenwerten von A 

-> Beh, denn BT*B = B²  = A

Gruß HHU

3.) Ich bin gerade Cholsky am Vermuten, gilt aber anscheinend nur für reelle Matrizen

Comments

3.) A hermitesch, p. semidefint 

-> A = B^T  *B.konj  = (nach Skript 6.4.5 (a)) = (B.konj)^2 

-> B^{1/2}.konj*B^{1/2}.konj (konj für Konjugiert)

-> da für alle z aus ℂ sqrt(z) existiert, sowie für alle x aus ℝ sqrt(x) in ℂ liegt, ist die Konsequenz, dass B^{1/2}.konj = C existiert.

-> A = C^{1/2}*C^{1/2} = B^{T}*B.konj = (A^{1/2})^T* A^{1/2}.konj  ❏