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(x + 3)y′ − y = x(x + 6).
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung

Lösung: y = x2 + C(x + 3) für reelles C

Mein Ansatz:

∫ 1y \frac{1}{y} dy = ∫ 1x+3 \frac{1}{x+3} logarithmus anwenden

ln|y|= ln|x+3| mit e multiplizieren

y= C(x+3)

Soo weiter komme ich nicht, müsste y nun wieder in die Gleichung einsetzen und laut mathedf.com würde man dann substituieren, aber ich hab das mit der Substitution irgendwie noch nicht ganz raus  :/

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Eine alternative Lösung:
Es ist ddxyx2x+3=0\displaystyle\,\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\frac{y-x^2}{x+3}=0, also yx2x+3=C\displaystyle\,\frac{y-x^2}{x+3}=C und damit y=x2+C(x+3)\,y=x^2+C(x+3).

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Hallo,

y= C(x+3) ->das ist die Lösung der homogenen DGL, es geht aber noch weiter.

Lösung via " Variation der Konstanten"

Lösung Integral: (7.letzte Zeile von unten)

C(x)=x(x+6)(x+3)2 C^{\prime}(x)=\frac{x(x+6)}{(x+3)^{2}}

 x(x+6)(x+3)2 dx \int \frac{x \cdot(x+6)}{(x+3)^{2}} \mathrm{~d} x

Substituiere : z=x+3


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Avatar von 121 k 🚀

Vielen Dank! Ich konnte alles nachvollziehen und bin auf dasselbe Ergebnis gekommen (: Also ist die Musterlösung falsch? Weil noch zusätzlich 9 und 3x im Endergebnis dabei steht, aber das macht ja auch Sinn

hier das Ergebnis von WolframAlpha:

y(x)=C1(x+3)+x2+3x+9 y(x)=C_{1}(x+3)+x^{2}+3 x+9

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