Ist das die allgemeine Lösung der Differentialgleichung?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die lineare, inhomogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten:

y′=x+y für y=y(x)

Dann gilt:

1.die Funktion yp:ℝ→ℝ mit yp (x)=−x−1 ist eine partikuläre Lösung der Gleichung

2. die Funktion yh:ℝ→ℝ mit yh(x)=e^x löst die korrespondierende homogene Differentialgleichung

3.die allgemeine Lösung der gegebenen Gleichung lautet y_allg(x)=C⋅e^x−x−1, C∈ℝ, x∈ℝ

Problem/Ansatz:

Nur Aussage 1 ist wahr denn, Die Aussage besagt, dass die allgemeine Lösung der gegebenen Differentialgleichung aus der Summe einer partikulären Lösung und der allgemeinen Lösung der korrespondierenden homogenen Differentialgleichung besteht. In diesem Fall ist die partikuläre Lösung nicht angegeben, daher können wir die Aussage über die partikuläre Lösung nicht beurteilen. Die Aussage zur allgemeinen Lösung der Differentialgleichung ist jedoch korrekt.

Ist das richtig?

Answer 1

Hallo,

y_allg(x)=C⋅e^x−x−1

-->

yh=C e^x

yp= -x-1

1) wahr

2.) Korrektur: wahr , wie durch Einsetzen in y'-y=0 zu sehen ist.

3.) wahr

hier die Rechnung zur Kontrolle:

Comments

Stimmt nicht. 2. ist auch wahr. Siehe meine Antwort unten.

Answer 2

Alle drei Aussagen sind wahr.

Hier gibt es gar nichts zu lösen, denn die (vermeintlichen) Lösungen sind ja angegeben. Zur Prüfung, ob etwas Lösung ist, löst man nicht, sondern setzt ein ("Probe").

Setze also ein und prüfe, ob die genannte Dgl erfüllt ist.

1. Ja, ist erfüllt.

2. Ja, ist erfüllt.

3. Du sagst

Die Aussage besagt, dass die allgemeine Lösung der gegebenen Differentialgleichung aus der Summe einer partikulären Lösung und der allgemeinen Lösung der korrespondierenden homogenen Differentialgleichung besteht

Das stimmt, das ist aber nicht Aussage 1, sondern ein allgemeines Prinzip. Das brauchst Du um mithilfe der wahren Aussagen 1. und 2. zu erkennen, dass auch 3. wahr ist.