Bestimmen Sie die allgemeine Lösung für folgende Differentialgleichung:

Question

Aufgabe:

$$\frac{d}{dx} u(x)=\frac{a}{x}u(x)+(u(x))^\alpha$$ mit $$a\in\mathbb{R}$$ und $$\alpha\in (0,1)$$.

Problem/Ansatz:

Ich führe folgende Rechnung durch:

$$\frac{a}{x}u(x)+(u(x))^\alpha=\left(\frac{a}{x}u(x)^{1-\alpha}+1\right)u(x)^\alpha$$

Nun substituiere ich $$v(x)=u(x)^{1-\alpha}$$ und folge damit einem gegebenen Hinweis.

Obiges kann dann umgeschrieben werden zu

$$\left(\frac{a}{x}v(x)+1\right)\frac{u(x)}{v(x)}=\frac{d}{dx} u(x)$$

Mein Problem ist, dass ich nicht sehe, wie mir das hilft. Sicherlich könnte ich nun $$u(x)$$ auch über $$v(x)$$ ausdrücken, aber dann wird das zu

$$\frac{d}{dx} v(x)^{\alpha-1}=\left(\frac{a}{x}v(x)+1\right)v(x)^{\alpha(\alpha-1)}$$

wenn ich mich nicht verrechnet habe.
Und ab hier weiß ich nicht weiter.

Mit anderen Worten, ich kann mit der vorgeschlagenen Substitution nichts anfangen.

Habt ihr einen Hinweis?
Vielen Dank im voraus.

Gefragt 20 Okt 2021 von DGLRG

1 Antwort

Ein anderes Problem?

oswald · Answer 1 · 2021-10-20T17:43:18+0000

$\frac{d}{dx} u(x)=\frac{a}{x}u(x)+(u(x))^\alpha$

Nun substituiere ich $v(x)=u(x)^{1-\alpha}$

Gemäß dieser Substitution ist

$\frac{d}{dx}v(x)=\left(1-\alpha\right)\left(u(x)\right)^{-\alpha}\cdot\frac{d}{dx}u(x)$.

Löse nach $\frac{d}{dx}u(x)$ auf und setze in die umgeschriebene Gleichung

$\left(\frac{a}{x}v(x)+1\right)\frac{u(x)}{v(x)}=\frac{d}{dx} u(x)$

ein.

Du musst auch noch irgendwo eine Substitution rückgängig machen, dann hast du eine lineare DGL in $v$, in der kein $u$ mehr vorkommt.