LR-Zerlegung, Vorwärts- und Rückwärtssubstitution.

Question

Aufgabe:

Gegeben sind eine Matrix und zwei rechte Seiten
\( A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{c} -5 \\ 10 \\ 8 \end{array}\right), \quad \tilde{b}=\left(\begin{array}{c} -5.01 \\ 9.98 \\ 7.99 \end{array}\right) . \)
a) Bestimmen Sie die Zerlegung \( P A=L R \) mit partieller Pivotisierung (Spaltenpivotsuche) und geben Sie die Matrizen \( P, L, R \) aus dem Endergebnis jeweils explizit an.

b) Sei \( A x=b \) und \( A \tilde{x}=\tilde{b} \). Schätzen Sie die absolute Abweichung \( \|\tilde{x}-x\|_{\infty} \) und die relative Abweichung \( \frac{\|\tilde{x}-x\|_{\infty}}{\|\tilde{x}\|_{\infty}} \) jeweils nach oben ab und geben Sie den Zahlwert (als Bruch) der oberen Schranke an.

Text erkannt:

Gegeben sind eine Matrix und zwei rechte Seiten
\( A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{c} -5 \\ 10 \\ 8 \end{array}\right), \quad \tilde{b}=\left(\begin{array}{c} -5.01 \\ 9.98 \\ 7.99 \end{array}\right) . \)
a) Bestimmen Sie die Zerlegung \( P A=L R \) mit partieller Pivotisierung (Spaltenpivotsuche) und geben Sie die Matrizen \( P, L, R \) aus dem Endergebnis jeweils explizit an.
b) Begründen Sie mit dem Ergebnis aus (a), dass die Matrix \( A \) regulär ist.
c) Berechnen Sie die Konditionszahl der Matrix \( A \) bezüglich der Norm \( \|\cdot\|_{\infty} \), indem Sie ohne Herleitung \( \left\|A^{-1}\right\|_{\infty}=4.6 \) verwenden.
d) Sei \( A x=b \) und \( A \tilde{x}=\tilde{b} \). Schätzen Sie die absolute Abweichung \( \|\tilde{x}-x\|_{\infty} \) und die relative Abweichung \( \frac{\|\tilde{x}-x\|_{\infty}}{\|\tilde{x}\|_{\infty}} \) jeweils nach oben ab und geben Sie den Zahlwert (als Bruch) der

Problem/Ansatz:

Hallo Leute, Ich habe eine Frage zur Aufgabe b). Wenn ich x und \(\tilde{x}\) rechnen möchte, kann ich das dann mit Vorwärts- und Rückwärtssubstitution (also Ly=b, Rx=y und Ly=\(\tilde{b}\), R\(\tilde{x}\)=y) rechnen, oder muss ich das normal rechnen (also Ax=b und A\(\tilde{x}\)=\(\tilde{b}\))?

Answer 1

Wenn Du das rechnen möchtest, kannst Du das tun. Ist aber in der Aufgabe nicht gefragt und auch nicht der Sinn der Aufgabe. Achte darauf (besonders bei Klausuraufgaben), das zu tun, was in der Aufgabe steht, und nichts anderes.

Hier geht es um eine Abschätzung, dazu brauchst Du die Matrix-Normen und die Konditionszahl. Steht sicher in Deinen Unterlagen.

Comments

Aber wie kann ich x und \(\tilde{x}\) erst bestimmen, um die Matrix-Normen zu rechnen?

Wenn Du das rechnen möchtest, kannst Du das tun

und wenn ich das rechnen möchte, muss ich das mit LR oder einfach normal mit Ax=b rechnen?

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Hast Du meine Antwort gelesen? Wenn Du es rechnest: Es hat mit der Aufgabe nichts zu tun. Daher ist es auch egal, wie Du es rechnest, kannst es auch mit Internetrechnern rechnen.

Hast Du in die Vorlesungsunterlagen geschaut?

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Ich habe in den Vorlesungsunterlagen das gefunden. x wurde erstmal gerechnet und dann Norm gerechnet.

Im folgenden bezeichnet \( \|\cdot\| \) die Euklidische Norm. Gegeben seien die Daten

\( A=\left(\begin{array}{ll} 0 & 2 \\ 0 & 0 \\ 2 & 2 \end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0.01 \end{array}\right), \quad \tilde{b}=\left(\begin{array}{c} 0.01 \\ 4 \\ 0.01 \end{array}\right) . \)
a) Bestimmen Sie zu den linearen Ausgleichsproblemen die Lösung \( x \) zu \( \|A x-b\| \) und die Lösung \( \tilde{x} \) zu \( \|A \tilde{x}-\tilde{b}\| \) mittels der Normalgleichungen. Folgern Sie damit auch die relative Abweichung \( \frac{\|\tilde{x}-x\|}{\|x\|} \).

Lösung:

Mit Vorwärts- und Rückwärtssubstitution erhält man die Lösungen
\( x=\left(\begin{array}{c} 0.005 \\ 0 \end{array}\right), \quad \tilde{x}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0.005 \end{array}\right) \)
und damit
\( \frac{\|\tilde{x}-x\|}{\|x\|}=\frac{\sqrt{(-0.005)^{2}+0.005^{2}}}{\sqrt{0.005^{2}}}=\sqrt{2} \approx 1.414 . \)

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Wir haben hier kein Ausgleichsproblem.

Ich hab Dir das Stichwort genannt, danach solltest Du suchen (dafür hab ich's Dir genannt).

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Ja aber Abweichung gerechnet wie in der Aufgabe verlangt wurde oder nicht?

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Es nützt Dir hier nichts.

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Ok muss ich erstmal x und x~ rechnen ?

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Du hast meine allererste Antwort immer noch nicht gelesen. Bin ratlos, wie ich Dir dann noch weiterhelfen kann.

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Doch habe ich gelesen aber ich vestehe nicht was das damit zu tun hat.. Konditionszahl ist \( \left\|A^{-1}\right\|_{\infty} * \) \( \left\|A\right\|_{\infty} \). Ich habe da x und x~ immer noch nicht

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Ich hab gesagt, \(x\) und \(\tilde x\) sind nicht auszurechnen und Du fragst, ob Du sie ausrechnen sollst. Was soll ich denn daraus schließen?

Auch jetzt lässt Du nicht davon ob, das auszurechnen.

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Ok heißt das muss ich die Konditionszahl rechnen?

Sei \( A x=b \) und \( A \tilde{x}=\tilde{b} \). Schätzen Sie die absolute Abweichung \( \|\tilde{x}-x\|_{\infty} \) und die relative Abweichung \( \frac{\|\tilde{x}-x\|_{\infty}}{\|\tilde{x}\|_{\infty}} \) jeweils nach oben ab und geben Sie den Zahlwert (als Bruch) der

Aber da steht gar nicht von Konditionszahl sondern x und x~

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Ja, das hab ich auch schon gesagt. Schau in Deine Unterlagen, was die Konditionszahl ist (es gibt mehrere) und wozu die gebraucht werden. Vergleiche das mit der Aufgabenstellung.

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Das ? im Google gefunden

Die absolute Abweichung wird wie folgt abgeschätzt:
\( \|\tilde{x}-x\|_{\infty} \leq \operatorname{cond}_{\infty}(A) \cdot\|\tilde{b}-b\|_{\infty} \)
Die relative Abweichung wird wie folgt abgeschätzt:
\( \frac{\|\tilde{x}-x\|_{\infty}}{\|\tilde{x}\|_{\infty}} \leq \operatorname{cond}_{\infty}(A) \cdot \frac{\|\bar{b}-b\|_{\infty}}{\|b\|_{\infty}} \)

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Was steht denn in Deinem Skript dazu?

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\( \frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \approx \kappa(A) \cdot \varepsilon \)

Das habe ich in meinem Skript gefunden aber ich weiß nicht was epsilon ist..

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Das ist eine Schätzung, keine Abschätzung, daher für die Aufgabe uninteressant. Was Du brauchst, steht ein paar Zeilen darüber im Skript.

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Somit folgt für den absoluten Fehler

\( \|\Delta x\| \leq \frac{\left\|A^{-1}\right\|}{1-\left\|A^{-1}\right\| \cdot\|\Delta A\|} \cdot(\|\Delta b\|+\|\Delta A\| \cdot\|x\|) . \)
Für den relativen Fehler erhalten wir für \( x \neq 0 \)
\( \frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \leq \frac{\|A\| \cdot\left\|A^{-1}\right\|}{1-\left\|A^{-1}\right\| \cdot\|\Delta A\|} \cdot\left(\frac{\|\Delta b\|}{\|A\| \cdot\|x\|}+\frac{\|\Delta A\|}{\|A\|}\right) . \)
Mit \( \|b\|=\|A x\| \leq\|A\| \cdot\|x\| \) folgt für \( b \neq 0 \)
\( \frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \leq \frac{\|A\| \cdot\left\|A^{-1}\right\|}{1-\left\|A^{-1}\right\| \cdot\|\Delta A\|} \cdot\left(\frac{\|\Delta b\|}{\|b\|}+\frac{\|\Delta A\|}{\|A\|}\right) . \)

Es gibt nur das noch..

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Ich weiß, und da steht alles was Du brauchst. Also löse die Aufgabe damit.

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Was ist diese Delta A ? \( \|\Delta A\|\)

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Warst Du in der Vorlesung? Da ist es sicher erklärt worden, und es steht auch alles im Skript. Du wirst den gesamten Abschnitt 3.5 schon durcharbeiten müssen. Außerdem gab es sicher Ü-Aufgaben dazu.

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Nein es gibt keine Ü-Aufgaben dazu. Könntest du mir bitte einfach nur sagen was das ist?

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Es gibt keinen Weg am Durcharbeiten des Abschnitts vorbei.

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Aha

Ich frage mich wieso du hier geantwortet hast, wenn du nicht so gerne hilfst