lineare Gleichungssysteme mit LR-Zerlegung lösen

Question

Guten Tag =)

Aufgabe:

Ich habe die Matrix

A = \( \begin{pmatrix} 9 & 1 & 2 \\ 18 & 3 & 3 \\ 27 & 2 & 6 \end{pmatrix} \)

Hiervon soll ich nun die LR-Zerlegung hier komme ich auf

\( \begin{pmatrix} 9 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & -1 &1 \end{pmatrix} \)

Nun soll ich die Linearen Gleichungssysteme A\( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} -7\\-15\\-21 \end{pmatrix} \) und A\( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 5\\9\\14 \end{pmatrix} \)

Allerdings verstehe ich nicht was genau ich hier tun soll, kann mir hierbei vielleicht jemand weiterhelfen?

Answer 1

Hallo,

Du hast die Zerlegung \(A=LR\). Wenn Du nun ein Gleichungssystem \(Ax=y\) lösen willst, kannst Du so vorghen:

Bestimme z aus \(Lz=y\)
Bestimme dann x aus \(Rx=z\)

In der Tat gilt dann: \(Ax=LRx=Lz=y\)

Der Witz ist dabei, dass L und R Dreiecksmatrizen sind und sich daher die Teilgleichungssysteme leicht lösen lassen.

Gruß