LR Zerlegung mit Parameter

Question

Aufgabe:

Gegeben: \( \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 1\\ 2 & 7 & a &4\\1&4&6&1\\3&4&9&0 \end{pmatrix} \)

mit \(a \in\mathbb{R} \).

Problem:

- Fuer welche A existiert eine LR-Zerlegung?
- Angeben oder LR-Zerlegung mit Permutation

Ansatz:

Existenz pruefen ob Matrix eine Inverse besitzt.

- Ja, Matrix besitzt Inverse mit \( a= \frac{16}{4}\)

\( \Rightarrow a  \neq  \frac{16}{4} \) existiert eine LR-Zerlegung

Ist der Ansatz korrekt oder habe ich etwas uebersehen?

Answer 1

Ich zerleg A einfach mal und überlasse es Dir Deine Schlüsse zu ziehen...

\(\small   \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\2&1&0&0\\1&1&1&0\\3&-5&\frac{-5 \; a + 43}{a - 10}&1\\\end{array}\right)  \left(\begin{array}{rrrr}1&3&4&1\\0&1&a - 8&2\\0&0&-a + 10&-2\\0&0&0&\frac{-3 \; a + 16}{a - 10}\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\x4\\\end{array}\right)   \)

Deine Betrachtungen zur Inversen versteht ich jetzt net - sind auch nicht mit meinem Ergebnissen kompatibel?