Bestimmen Sie die LR-Zerlegung von A mit Hilfe der partielle pivotisierung une geben Sie L, R und P an.

Question

Gegeben sei die Matrix

     (4  -2  0)

A= (-2  2  -1)

     (0  -1  5)

a) Bestimmen Sie die LR-Zerlegung von A mit Hilfe der partielle pivotisierung une geben Sie L, R und P an.

b) Zeigen Sie, dass R = DL^T gilt, wobei D die Diagonalmatrix ist, bei der auf der Diagonalen die Einträge von R stehen. Welches vorzeichen haben die Diagonaleinträge von D und was bedeutet das damit für A = LDL^T ?

Ich habe Teil a) gemacht

       (4   -2   0)            (1   0   0)

R =  (0   -1   5)      L = (0   1   0)

       (0   0   5)             (1/2  1  1)

     (1   0   0)

P = (0   0   1)

     (0   1   0).

Teil b) verstehe ich nicht wirklich, was ich machen soll und wie ich genau vorgehen kann! Also weiß nur, dass mein D so lautet:

     (4   0   0)

D = (0   -1   0)

     (0   0   5)

Kann mir jemand bitte helfen oder diesen Teil für mich vorrechnen, damit ich es verstehe?

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Kann mir jemand bitte weiter helfen? Ich brauche unbedingt Hilfe!!

Answer 1

Die richtige LR-Zerlegung hat wächter schon genannt und es ist keine Spaltenpivotisierung nötig (P=I).

Zu b): Damit gilt dann auch \(R=DL^T\). Die Diagonalelemente von \(D\) sind positiv, man kann also die "Wurzel" aus \(D\) ziehen, mit \(D_1:=diag(2,1,2)\) gilt dann \(D=D_1D_1\).

Mit \(C:=D_1L^T\) folgt dann aus \(A=LDL^T\), dass \(A=C^TC\) mit der rechts-oberen Dreiecksmatrix \(C\). Dies stellt also eine Cholesky-Zerlegung von \(A\) dar, insb. ist \(A\) positiv definit.

Ob das die gewünschte und ausreichende Antwort auf b) ist, hängt davon ab, was in der Vorlesung zu diesen Zerlegungen gesagt worden ist.

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Vielen Dank für deine Hilfe

Answer 2

Hm, ich komme auf

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/grq4nhdd

LR Zerlegung R³ - LU decomposition linear equations

partielle pivotisierung= Spaltenpivot suche?

(11) Pivot:=1;

\(\small L\, R = P A \to \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\\frac{-1}{2}&1&0\\0&-1&1\\\end{array}\right)  \left(\begin{array}{rrr}4&-2&0\\0&1&-1\\0&0&4\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right) A\)

Pivotsuche erübrigt sich....

Damit ergeben sich die Aussagen von b)!

___

Deine L,R zerlegen A nicht!

{{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {1/2, 1, 1}} {{4, -2, 0}, {0, -1, 5}, {0, 0, 5}} = {{4, -2, 0}, {0, -1, 5}, {2, -2, 10}}

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Vielen Dank für deine Hilfe