WIe schaut die Vertauschung bei der PA = LR-Zerlegung für die L-Matrix aus?

Question

Aufgabe:

Finden Sie die Permutationsmatrix P, die linke, untere Dreiecksmatrix L und die obere, rechte Dreiecksmatrix U. sodass $$ PA=LR $$. Gegeben sei $$ A=  \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6  \\ -2 & -3 & -4 & -5 & -6 & -7 \\ 3 & 7 & 11 & 16 & 21 & 27 \\ -4 & -5 & -5 & -5 & -5 & -5 \end{pmatrix}$$

Ich kam bisher soweit:

$$ U = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6  \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$
und
$$ L= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0  \\ -2 & 1 & 0 & 0  \\ 3 & 1 & 1 & 0  \\ -4 & 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Der letzte Schritt, den ich machen muss, ist die Reihe 4 mit der Reihe 3 zu tauschen aber ich weiß nicht ganz, wie ich die Einträge in der unteren, linken Dreiecksmatrix verändern soll, da nicht die komplette Reihe, sondern eigentlich nur die Einträge unter der Diagonalen vertauscht werden müssen. Müssen also die oberen zwei Werte in der 3. Reihe mit den unteren zwei Werten der 4. Reihe vertauscht werden und die Null als dritter Eintrag der 4. Reihe lasse ich einfach da stehen? Kann jemand mir verraten, wie man es richtig macht und die Matrix L und U einmal hinschreiben nach der Vertauschung?

Answer 1

Hm,

ich kann da nix erkennen - ich hab

R:=L3 P3 L2 P2 L1 P1 A

\(\small \left(\begin{array}{rrrrrr}-4&-5&-5&-5&-5&-5\\0&\frac{13}{4}&\frac{29}{4}&\frac{49}{4}&\frac{69}{4}&\frac{93}{4}\\0&0&-\frac{5}{13}&-\frac{8}{13}&-\frac{11}{13}&-\frac{12}{13}\\0&0&0&-\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}&-\frac{4}{5}\\\end{array}\right) =\)

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&\frac{1}{5}&1\\\end{array}\right)    \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right)    \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&\frac{2}{13}&1&0\\0&-\frac{3}{13}&0&1\\\end{array}\right)    \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right)   \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\-\frac{1}{2}&1&0&0\\\frac{3}{4}&0&1&0\\\frac{1}{4}&0&0&1\\\end{array}\right)   \, \left(\begin{array}{rrrr}0&0&0&1\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\\end{array}\right) \; A\)

===>

P:= P3 P2 P1

L:=(L3 P3 L2 P2 L1 P2 P3)^(-1)

\(\small L \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\-\frac{3}{4}&1&0&0\\\frac{1}{2}&-\frac{2}{13}&1&0\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{13}&-\frac{1}{5}&1\\\end{array}\right)\)

Comments

Hallo Wächter, ich habe noch mal nachgerechnet. Die Matrizen, die ich oben aufschrieb, brauchen noch eine Operation und zwar die Vertauschung der dritten mit der vierten Reihe. Wenn du dies getan hast, dann rechne PA und LR aus. Dann siehst du, dass PA = LR.

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Hm,

dann mußt Du mal was zu Deinem Weg erklären.

Meine Rechnung basiert auf einer Spaltenpivotsuche, was üblicher Weise auf die Zerlegung LR=PA führt...

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Ja, kann ich machen. Ich habe die Matrizen

$$L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ -4 & 3 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$ $$R=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5& 6\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4  \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}.$$ $$P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0  \end{pmatrix}.$$ Mit denen gilt PA = LR. Wenn du möchtest, kannst du das nochmal nachrechnen. Und die folgenden Reihen-Operationen habe ich verwendet in dieser Reihenfolge: $$ Reihe_2 + 2*Reihe_1$$ $$ Reihe_3 - 3*Reihe_1$$ $$ Reihe_4 + 4*Reihe_1$$ $$ Reihe_3 - Reihe_2$$ $$ Reihe_4 - 3*Reihe_2$$ $$ Reihe_3 <=> Reihe_4$$

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Aha,

Du machst nur den einen Vertauschungsschritt, weil der bei Spalte 3 ohne Pivotsuche notwendig wird

\(\small  A3 \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrrrr}1&2&3&4&5&6\\0&1&2&3&4&5\\0&0&0&1&2&4\\0&0&1&2&3&4\\\end{array}\right)\)

und yep dann passt das so.

Wenn das der Aufgabenstellung entspricht, ok - sozusagen eine partielle Pivotsuche - merkwürdig?