Wie sieht die Fourier-Transformation von der nabla operator aus?

Question

Aufgabe:

$$\nabla\tilde f(k)=\int_{-\infty}^{\infty} exp(-ikx)\nabla f(x)$$

Problem/Ansatz:

Ich habe hier Probleme zu erkennen wie ich vorgehen soll. Dieser Aufgabe ging die Aufgabe voraus zu bestimmen was passiert wenn man die Ableitung einer Funktion transformiert.

Antwort:

$$\tilde f´(k)=ik \tilde f(k)$$

Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.

Answer 1

Ich geh mal davon aus, dass das Integral als ein Integral über den \( \mathbb{R}^n \) gemeint ist, oder? Die Fouriertransformation sieht also so aus

$$ \mathcal{F}(f(y)) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{-iy \cdot x} dx $$ wobei \( x,y \in \mathbb{R}^n \) gilt.

Setze \( x=(x_1, x') \), \( y = (y_1,y') \), \( dx = dx_1 dx' \) und sei \( f_{x_1} = \frac{\partial}{\partial x_1} f(x) \) dann gilt

$$ \mathcal{F}(f_{x_1}(y)) =  \int_{\mathbb{R}^n} f_{x_1}(x) e^{-iy \cdot x} dx = \int_{\mathbb{R}^{n-1}} e^{-iy' \cdot x'} \left( \int_{\mathbb{R}} f_{x_1}(x_1,x') e^{-iy_1 \cdot x_1} dx_1 \right) dx'  $$ partielle Integration des inneren Integrals ergibt

$$ \int_{\mathbb{R}} f_{x_1}(x_1,x') e^{-iy_1 \cdot x_1} dx_1 = iy_1 \int_{\mathbb{R}} f(x_1,x') e^{-iy_1 \cdot x_1} dx_1  $$

Einsetzten in die Gleichung für \( \mathcal{F}(f_{x_1}(y)) \) führt auf

$$ \mathcal{F}(f_{x_1}(y)) =  iy_1 \int_{\mathbb{R}^{n-1}} e^{-iy' \cdot x'} \left( \int_{\mathbb{R}} f(x_1,x') e^{-iy_1 \cdot x_1} dx_1 \right) dx' = iy_1 \int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{-iy \cdot x} dx = iy_1 \mathcal{F}(f(y)) $$

Und das macht man dan auch für \( x_2, \cdots ,x_n \). dann bekommt man

$$ \mathcal{F}(\nabla f (y)) = iy \mathcal{F}(f(y)) $$