Aufgabe (Zweimalige Fourier-Transformation):
Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \) eine schnell fallende Funktion. Zeigen Sie, dass
\( \mathcal{F}(\mathcal{F}(f))(t)=\frac{1}{2 \pi} f(-t) \quad \text { für alle } t \in \mathbb{R} \text {. } \)
Definition:
Eine Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \) heißt schnell fallend, wenn \( f \) beliebig oft differenzierbar ist und für jedes \( k \in \mathbb{N}_{0} \) die \( k \) te Ableitung \( f^{(k)} \) die Bedingung\( \|f\|_{k, m}:=\sup _{x \in \mathbb{R}}\left(1+|x|^{m}\right)\left|f^{(k)}(x)\right|<\infty \)erfüllt für alle \( m \in \mathbb{N}_{0} \), also\( (\forall x \in \mathbb{R}) \quad\left|f^{(k)}(x)\right| \leq \frac{C}{1+|x|^{m}} \)gilt mit \( C=\|f\|_{k, m} \)
Hallo, ich bräuchte bei dieser Aufgabe Hilfe. Könnte mir jemand zeigen, wie man sie löst?
