Ich bin etwas verwirrt, gibt es für eine singuläre Matrix die LR-Zerlegung oder nicht?

Question

Aufgabe:

Ich bin etwas verwirrt, gibt es für eine singuläre Matrix die LR-Zerlegung oder nicht?

Problem/Ansatz:

Auf der deutschen Wikipediaseite findet man, das für jede reguläre Matrix ein (P)LR-Zerlegung existiert (https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsches_Eliminationsverfahren#Existenzsatz) somit, damit eine LR-Zerlegung existiert muss die Matrix regulär sein.

Hingegen auf der englischen Seite steht, dass es für jede quadratische Matrix eine (P)LR-Zerlegung existiert (https://en.wikipedia.org/wiki/LU_decomposition#Square_matrices).

Welches ist nun das richtige Kriterium?

Answer 1

Hallo,

somit, damit eine LR-Zerlegung existiert muss die Matrix regulär sein.

Das steht nicht da. Da steht: Wenn die Matrix regulär ist, gibt es eine Dreieckszerlegung mit normiertem L (also Diagonale =1). In diesem Fall kann man also eine solche Zerlegung garantieren.

Aber es ist klar, dass auch singuläre Matrizen eine solche Zerlegung haben können:

$$\begin{pmatrix}1&0 \\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0 \\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0 \\0&0\end{pmatrix}$$

Dass man allerdings für jede Matrix eine Zerlegung - gegebenenfalls nicht normiert - garantieren kann, ist mir auch neu.

Gruß