Bestimmen Sie den Wert von a, so dass der eingeschlossene Flächeninhalt gleich 3 ist

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Schar der Funktionen f_a(x) = e^x • (x-a)²  mit a∈ℝ.

Es gibt ein a>0, so dass der Graph G_a mit den Koordinatenachsen eine Fläche mit dem Inhalt 3 einschließt. Bestimmen Sie diesen Wert von a.

Problem/Ansatz:

Mir ist klar, dass die Gleichung:

$$\int \limits_{0}^{a}f_{a}(x)dx = 3$$

zu lösen ist. Mit zweifacher partieller Integration kann ich zwar das Integral (recht mühsam) lösen, aber die entstehende Gleichung in a nicht.

Dann habe ich versucht, dieses Integral mit dem GeoGebra CAS Rechner zu lösen, bin aber bisher nicht weitergekommen.

Hier wäre ich für einen Tip dankbar, wie man das in GeoGebra eingeben muß, um die Lösung a ≈ 1,76 zu erhalten.

Danke.

Comments

Wie lautet denn deine Stammfunktion, hast du die mit Integralrechner oder Probe geprüft? Und wie lautet deine Gleichung?

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Meine Frage ist, kann ich das Integral numerisch mit dem CAS Rechner ausrechnen?

Answer 1

Du kannst die anstehende Gleichung numerisch lösen z.B. mit dem Newtonverfahren oder einfacher mit dem Intervallschachtelungsverfahren. Kennst du eines davon.

Ansonsten geht es auch grafisch. Forme die Gleichung so um. Das du einen Term = 0 bekommst. Nun lässt du den Term in Abhängigkeit von a zeichnen und bestimmst grafisch die Nullstellen.

Du kannst auch direkt das Integral numerisch vom CAS lösen lassen.

Comments

Perfekt, danke. Genau das hatte ich gesucht.

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nudger hat noch eine zweite Möglichgeit gefunden

für a = √2 - 1 ergibt sich die Fläche von 3 als Begrenzung mit der Negativen x-Achse und der positiven y-Achse.

Answer 2

Warum beantwortest Du nicht die Rückfragen?

Die Gleichung (wenn sie richtig aufgestellt ist) kann man problemlos numerisch (z.B. mit wolframalpha) lösen, aber nicht durch Umstellen (also auch nicht exakt mit einem CAS lösen).

Übrigens ist die Aufgabenstellung nicht eindeutig. Es gibt noch eine zweite Fläche, die die Bedingung erfüllt, das führt auf Integral von - infty bis 0, und die da entstehende Gleichung ist leicht lösbar.

Comments

Danke. Dann ist diese Abituraufgabe wohl nicht eindeutig.