Bestimmen sie k so, dass die von den Graphen der Funktion f und g eingeschlossene Fläche den Flächeninhalt A hat.

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie k so, dass die von den Graphen der Funktion f und g eingeschlossene Fläche den Flächeninhalt A hat. Fertigen Sie dazu zunächst eine Skizze an und erläutern Sie daran den Einfluss des Parameters k.

f(x) = x^3,    g(x) = kx;    A = 0,25

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand helfen? Ich weiß nicht von wo bis wo ich integrieren soll.

Comments

Schon gezeichnet?

Schau mal hier.

Du kannst den Regler so einstellen, dass die passende Fläche rauskommt.

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Schau mal hier.

Verbesserungsvorschlag:

Den Punkt bei \(k=...\) kann man mit der Maus vertikal verschieben

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@Werner-Salomon:

Das ist eine Form der Interaktion, die für Touch-Geräte (vor allem mit kleinem Bildschirm) ungünstig ist, da dann der User mit seinem Finger einen Teil der grafischen Information verdeckt.

Answer 1

Hallo,

bestimme die Schnittpunkte von f und g

\(x^3=kx\\ x^3-kx=0\\ x\cdot (x^2-k)=0\\ x=0\quad \vee \quad x=\pm\sqrt{k}\\\)

Wegen der Symmetrie von f genügt es, wenn du das Integral von 0 bis \( \sqrt{k} \) berechnest und = 0,125 setzt.

Gruß, Silvia

Comments

Wenn ich das Integral von 0 bis \( \sqrt{k} \) berechne kommt bei mir \( \frac{1}{4} \) k² raus und wenn ich das dann = 0,125 setze spuckt mein Taschenrechner kein Ergebnis aus :(

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Taschenrechner sind nicht immer glückseligmachend. Vielleicht hast du etwas falsch eingegeben.

\(\frac{1}{4}k^2=\frac{1}{8}\\ k^2=\frac{1}{2}\\k=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}\)

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$$k=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}$$

\(k\) muss positiv sein. Ansonsten existiert keine eingeschlossenen Fläche. Es gibt also nur eine Lösung. Siehe Desmos-Applet unter der Frage ;-)

Answer 2

\(f(x) = x^3\)    \(g(x) = k*x\)    \(A = 0,25=\frac{1}{4}\)

\(x^3-k*x=0\)

\(x*(x^2-k)=0\)

\(x₁=0\)

\( x₂=\sqrt{k} \)

\( x₃=-\sqrt{k} \)

Die Funktion  \(f(x) = x^3\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Die beiden Flächen,die durch die Gerade \(g(x) = k*x\) entstehen, sind somit gleich groß.

\( \frac{1}{4}=2*\int\limits_{0}^{\sqrt{k}}k*x*dx\)

\( \frac{1}{8}=\int\limits_{0}^{\sqrt{k}}k*x*dx\)

Berechne nun k.

Comments

Aber wenn ich die das Integral so aufstelle, berechne ich dann nicht die Fläche zwischen g(x) und der X-Achse?

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Du hast recht, das war mein Fehler. So stimmt es nun:

\(\frac{1}{4}=2*\int\limits_{0}^{\sqrt{k}}(x^3-k*x)*dx\)

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So stimmt es nun:

kleiner Schönheitsfehler. Es ist \(g(x) \gt f(x)\) im Intervall \((0\dots \sqrt{k})\) - also$$A = 2\int\limits_{0}^{\sqrt{k}}(kx-x^3)\,\text dx$$

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Danke dir! So ist es besser.