LR Zerlegung mithilfe von L berechnen

Question

Aufgabe:

$$ \begin{array}{l}{\text { Die reguläre Matrix } A \in \mathbb{R}^{n \times n} \text { mit der LR-Zerlegung } A=L R \text { werde um eine Zeile }} \\ {\text { und Spalte erweitert zu }} \\ {\qquad \widehat{A}=\left(\begin{array}{cc}{A} & {b} \\ {c^{T}} & {d}\end{array}\right), \quad b, c \in \mathbb{R}^{n}, \quad d \in \mathbb{R}}\end{array} $$ $$ \begin{array}{l}{\text { a) Bestimmen Sie die LR-Zerlegung von } \widehat{A} \text { mit einer Matrix } \widehat{L} \text { der Form }} \\ {\qquad \widehat{L}=\left(\begin{array}{cc}{L} & {0} \\ {x^{T}} & {1}\end{array}\right), \quad x \in \mathbb{R}^{n}}\end{array} $$ $$ \begin{array}{l}{\text { b) Zeigen Sie damit, dass } \widehat{A} \text { genau dann regulär ist, wenn } d-c^{T} A^{-1} b \neq 0 .} \\ {\text { c) Im singulären Fall bestimmen Sie eine Lösung } z \in \mathbb{R}^{n+1} \backslash\{0\} \text { der homogenen }} \\ {\text { Gleichung } \widehat{A} z=0}\end{array} $$

Problem/Ansatz:

Bräuchte da Hilfestellung zur Lösung dieser Aufgabe, danke.

Comments

\(\begin{pmatrix}L&0\\c^\top R^{-1}&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}R&L^{-1}b\\0&d-c^\top A^{-1}b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A&b\\c^\top&d\end{pmatrix}=\widehat A\).

---

wie kommt man auf die 2.  Matrix?

---

bzw. auf beide Matrizen

Answer 1

Die ganze Rechnung?

\(A'=\widehat{A}, L'=\widehat{L}\) bekannt

 ===> \(L'^{-1} = \left(\begin{array}{rr}L^{-1}&0\\-x^T \; L^{-1}&1\\\end{array}\right)\)  und A' = L' R'

===> L'^-1 A' = R'

\(\left(\begin{array}{rr}L^{-1}&0\\-x^T \; L^{-1}&1\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{rr}A&b\\c^T&d\\\end{array}\right) =* \left(\begin{array}{rr}L^{-1} \; A&L^{-1} \; b\\-x^T \; L^{-1} \; A + c^T&-x^T \; L^{-1} \; b + d\\\end{array}\right) \)

-x^T L^(-1) A + c^T= 0 ===> x^T = c^T A^-1 L

L^-1 A = R

in *

\(R'=\left(\begin{array}{rr}R&L^{-1} \; b\\0&d -cT \; A^{-1} \; b \\\end{array}\right)\)

Comments

$$ L^{\prime-1}=\left(\begin{array}{cc}{L^{-1}} & {0} \\ {-x^{T} L^{-1}} & {1}\end{array}\right) $$ 

1. Frage Wie kommt man darauf?  Ist jetzt nicht das Inverse, oder?

---

A) Dreiecksmatrizen sind einfach zu invertieren

B) Das Produkt von Matrix und Inverse ergibt die Einheitsmatrix

Du kannst Matrizen multiplizieren?

---

Ok, danke hab es soweit ausgerechnet und verstanden, wie ich darauf komme.

Nun, wo ist das Problem, wenn $$ -x^{T} L^{-1} b+d=0 $$  ?