Wie zeige ich Isomorphie zwischen zwei Gruppen?

Question

Hallo :)

Ich habe folgende Aufgabe. Ich soll beweisen, dass die Gruppen (nℤ,+) und (mℤ,+) isomorph sind für alle n,m∈ℕ. Hierbei weiß ich leider gar nicht, wie ich an die Sache ran gehen soll.

Isomorphie zwischen Gruppen ist ja gegeben, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

(G₁,♣) und (G₂,◊) seien zwei Gruppen und φ:G₁→G₂. Nun handelt es sich um einen Isomorphismus, wenn (1) φ eine Bijektion ist und (2) wenn gilt: φ(a♣b)=φ(a)◊φ(b) für alle a,b∈G₁

nℤ bzw. mℤ sind halt wie üblich alle ganzen Zahlen, welche durch n bzw. m teilbar sind.

Wie ich (1) bzw. (2) zeige ist mir leider nicht ganz klar. Man könnte glaube ich versuchen eine Bijektion zwischen G₁ und G₂ zu konstruieren, aber auch da bin ich mir nicht sicher.

Vielen Dank schonmal :)

Answer 1

Zeige: \( (\mathbb Z , + )  \)und  \( (n\mathbb Z , + ) \) sind isomorph durch Angabe eines Isomorphismus.

Analog gibt es auch einen Iso. für m statt n. Damit ergibt sich deine gewünschtee Isomorphie (Isomorpphie ist ja transitiv)

Answer 2

nℤ bzw. mℤ sind halt wie üblich alle ganzen Zahlen, welche durch n bzw. m teilbar sind.

Wie ich (1) bzw. (2) zeige ist mir leider nicht ganz klar. Man könnte glaube ich versuchen eine Bijektion zwischen G₁ und G₂ zu konstruieren, aber auch da bin ich mir nicht sicher.

Betrachte mal die Abbildung

f :  nℤ --->  mℤ

n*x ----->  m*x

die ist wohldefiniert, weil jedes Element von  nℤ sich eindeutig

in der Form n*x mit n aus ℤ schreiben lässt  und m*x dann

aus  mℤ ist.

Jetzt zeigst du noch, dass die gesuchte Bijektion ist, die außerdem

f( nx + ny ) = f(nx) + f(my) erfüllt.

Comments

Okay :)

Also ich habe eine Abbildung f: nℤ→mℤ mit nx↦mx

Um nun zu zeigen, dass die Abbildung f bijektiv ist, muss sie injektiv und zeitgleich surjektiv sein.

Injektivität:

Zu zeigen: Für x₁,x₂∈nℤ mit x₁=x₂ folgt auch, dass f(nx₁)=f(mx₂) gilt.

Surjektivität:

Zu zeigen. Zu jedem y∈mℤ existiert mindestens ein x∈nℤ, sodass f(x)=y gilt. Dies wäre doch dann f(nx₁)=mx₂ mit y=mx₂

Mit "f( nx + ny ) = f(nx) + f(my)" meinten Sie bestimmt f( nx + my ) = f(nx) + f(my) oder verstehe ich das leider etwas falsch? :)

Wie gehe ich an die Dinge ran, welche zu zeigen sind? Kann man irgendwie argumentieren, dass m und n zwei Teiler sind? :)

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Injektivität:

Zu zeigen: Für x₁,x₂∈nℤ mit x₁=x₂ folgt auch, dass f(nx₁)=f(mx₂) gilt.
Andersherum ist es richtig: wenn die Funktionswerte gleich sind,
dann müssen auch die x-Werte gleich sein.
Deine Aussage stimmt zwar auch, dedeutet aber nur, dass die Funktionswerte
eindeutig festgelegt sind ( Def. einer Funktion)

Also fängst du an: seien x1 und x2 aus nℤ mit f(x1) = f(x2 ) .
Da x1 und x2 aus nℤgibt es a1 und a2 aus Z mit
x1=n*a1 und x2 = n*a2  ,
also f(x1) = m*a1 und f(x2) = ma2 .

wegen f(x1) = f(x2 ) also   ma1 = ma2  und da m ≠ 0
also auch  a1 = a2 und damit    x1 = x2

Surjektivität:

Zu zeigen. Zu jedem y∈mℤ existiert mindestens ein x∈nℤ, sodass f(x)=y gilt. Dies wäre doch dann f(nx₁)=mx₂ mit y=mx₂

oder etwas ausführlicher: Sei    y∈mℤdann gibt es ein a aus Z mit y = m*a .

Dann ist n*a aus nℤ  und  f( n*a) = m*a = y also ist x = n*a das gesuchte x.

Mit "f( nx + ny ) = f(nx) + f(my)" meinten Sie bestimmt f( nx + my ) = f(nx) + f(my) oder verstehe ich das leider etwas falsch? :)
Genau, da hatte ich mich vertippt.

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Okay vielen Dank :D

Dazu habe ich eigentlich keine Fragen mehr :)
Hab alles soweit verstanden

Nun habe ich eine kleine Frage zum zweiten Teil, dass also auch f( nx + my ) = f(nx) + f(mx) gelten muss.

In dem Teil mit der Surjektivität hat man ja x = n*a und y = m*a gehabt. Darf man dies jetzt einfach oben einsetzten? Also dass dann gilt:

f( nx + my ) = f( n*(n*a) + m*(m*a) ) = f( n²*a + m²*a ) = f( a*(n²+m²)) => (n²+m²) durch a teilbar

f(n*(n*a)) = f(a*n²) ==> n² durch a teilbar

f(m*(m*a)) = f(a*m²) ==> m² durch a teilbar

Da nun f(a*(n²+m²)) durch a teilbar ist und auch f(a*n²) + f(a*m²) durch a teilbar ist folgt:

=>  f( nx + my ) = f(nx) + f(mx) muss gelten

Ist das absoluter Unsinn oder kann man etwas davon verwenden? :)

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Um f( nx + ny ) = f(nx) + f(ny) zu zeigen,  ( mit dem m hatte ich mich vertippt,

die sind ja beide aus nZ.)

brauchst du doch nur umzuformen:

f( nx + ny ) = f (   n (x+y) )  =  m(x+y) = mx + my = f(nx) + f(ny)

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Danke :)

Zwei Schritte verstehe ich jedoch leider nicht:

Und zwar wie kommt man auf  f(n(x+y)) = m(x+y) und mx + my = f(nx) + f(ny), also wie entstehen diese Umformungen :)