Zeigen Sie, dass G isomorph ist zur Kleinschen Vierergruppe

Question

Aufgabe:
Sei G eine Gruppe mit 4 Elementen. Zeigen Sie, dass G isomorph ist zu (Z/4Z, +) oder
zur Kleinschen Vierergruppe

Problem/Ansatz:
Ich möchte die Isomophie zwischen G und der kleinschen Vierergruppe (kürze ich mit U ab) zeigen, nur komme ich im Moment nicht weiter. Ich habe eine Verknüpfungstafel zu beiden Gruppen gebastelt und folgendes aufgeschrieben:

U und G:

◦	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	e	c	b
b	b	c	e	a
c	c	b	a	e

∗	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	e	c	b
b	b	c	e	a
c	c	b	a	e

Sei a,b ∈ G, dann gilt: f(a∗b)=f(a)◦f(b)

Muss ich diese Annahme, die Surjektivität und Injektivität zwischen der Abbildung f: G → U zeigen? Wenn ja, wie gehe ich da vor?

Answer 1

Es geht doch darum, dass es (bis auf Isomorphie) eben

nur 2 Gruppen mit 4 Elementen gibt.

Siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_kleiner_Gruppen#Liste_aller_Gruppen_bis_Ordnung_20

Unterscheide die Fälle "zyklisch" oder "nicht zyklisch".

Dann kannst du dir jeweils einen Isomorphismus basteln.

Comments

Ich verstehe die Antwort nicht so ganz. Kannst du das mit zyklisch und nicht zyklisch, sowie die genaue Heransgehensweise beim Isomorphismus vielleicht erläutern?

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Sei also (G,o) eine Gruppe mit 4 Elementen.

1. Fall:  G ist zyklisch, also gibt es ein Element a und

für die anderen 3 gilt

b=aoa   c=aoaoa  und e=aoaoaoa ist das neutrale Element.

Betrachte die Abbildung f: G → Z/4Z

               mit  f(a)=1    f(b)=2   f(c)=3 und f(e)=0.

Zeige, dass dies ein Isomorphismus ist.

2. Fall: G ist nicht zyklisch und e ist das neutrale Element.

Es gibt aber ein von e verschiedenes Element a.

Dann ist aoa ≠ a ; denn sonst wäre ja a das neutrale El.

Damit haben wir 2 verschiedenene (und vom neutralen El

verschiednene Elemente a und b=aoa.

Wenn man diese beiden verknüpft, ist das weder

gleich a noch gleich b und es ist auch nicht das neutrale

Element; denn dann wäre a invers zu b und

b invers zu a und somit wäre {a;b;e} ein

eine Untergruppe mit 3 Elementen. Das gibt es bei

ein Vierergruppe aber nicht.

Also bleibt nur :  aob=c ist das 4. Element und alle sind

zu sich selbst invers. Das ist bei der Kleinschen

Vierergruppe auch so, also hast du deinen Isomorphismus.

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Betrachte die Abbildung f: G → Z/4Z mit f(a)=1    f(b)=2  f(c)=3 und f(e)=0.
Zeige, dass dies ein Isomorphismus ist.

Und hier einfach Injektivität, Surjektivität und f(a∗b)=f(a)∗f(b) zeigen?

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Ja, genau so ist es !