Sind folgende Gruppen isomorph? a) A_4 und die DiederGruppe D_12

Question

(a) A₄ und die DiederGruppe D₁₂
(b) S_n-1 und die Untergruppe {σ∈S_n : σ(1)=1} von S_n

Muss diese zwei Übungsaufgaben noch bearbeiten und habe echt keine Ahnung.. Auf einem anderen Übungsblatt musste ich auch schon alle Gruppenhomomorphismen zw. zwei Gruppen bestimmen, was ich auch schon nicht hinbekommen habe.
Mein Idee wäre nämlich gewesen alle Gruppenhomomorphismen in beide Richtungen zu bestimmen und zu schauen, ob es gleiche gibt..
Ist die Idee komplett falsch bzw. kann mir bitte jemand helfen.. :(

LG

Answer 1

Du brauchst nur einen Isomorphismus zwischen den Gruppen.

Nun hat aber D₁₂ doch wohl 24 Elemente und A₄ nur 12.

Also gibt es keine bijektive Abb. zwischen den beiden, also auch

keinen Isomorphismus.

b)  Hier stimmt die Anzahl der Elemente, könnte also klappen.

Klappt auch; denn  ein Isomorphismus von 

der  Untergruppe    U =  {σ∈S_n : σ(1)=1}   auf  S_n-1   ist doch  f  :  U   ------------>  S_n-1    

            σ  ---->   α mit  α(n) = σ (n+1) 

Comments

vielen Dank schonmal für die Antwort, bei Aufgabenteil (a) hatte ich auch schon an die Anzahl der Elemente gedacht, habe aber vermutlich die Anzahl der Elemente der Diedergruppe falsch ausgerechnet, sodass ich auf die gleiche Anzahl an Elementen kam, bei unterschiedlich vielen Elementen natürlich logisch, dass da keine bijektive Abb sein kann, danke!

Zu (b) muss ich dort jetzt nur noch zeigen, dass die Abb. ein Morphismus ist und bijektiv?

Wenn ja würde ich das jetzt so machen:

Abb. Morphismus: z.z. f(σ₁(n))•f(σ₂(n)) = f(σ_1•σ₂(n))

f(σ₁(n))•f(σ₂(n)) = α₁(n)•α₂(n) = σ₁(n+1)•σ₂(n+1) =  σ₁•σ₂(n+1) = α₁•α₂(n) = f(σ_1•σ₂(n)) ✓

z.z also noch das Abb bijektiv (sprich injektiv und surjektiv) ist

injektiv: z.z. f(σ₁(n)) = f(σ₂(n)) ⇒ σ₁(n) = σ₂(n)

f(σ₁(n)) = f(σ₂(n)) ⇒ = α₁(n) = α₂(n) ⇒ σ₁(n+1)•σ₂(n+1) ⇒ σ₁(n) = σ₂(n) ✓

surjektiv zeigen weiß ich leider nicht, wenn das oben nicht sowieso schon komplett falsch ist..

LG 

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Abb. Morphismus: z.z. f(σ₁(n))•f(σ₂(n)) = f(σ_1•σ₂(n))Hier müsste man wohl ( wie auch in meiner Definition) statt des nein k aus { 1 ...n } nehmen; denn das n ist schon bei  σ∈S_n  vergeben.surjektiv:   Sei α ∈S_n-1  .   Dann gibt es für jedes k aus { 1 , ... n-1 } ein eindeutig bestimmtes  α(k) .  Durch


σ ( m ) =    α(  m-1 )   wird also für jedes m aus   { 2,...,n } genau ein   σ ( m )aus { 1,.... n-1 }   definiert.

Und die Bilder sind paarweise verschieden, da

α eine Permutation ist.  Also wird durch   β(m)  =   σ ( m ) +1 eine Permutation

auf   { 2,...,n }  festgelegt.

definiere außerdem  ß ( 1 ) =   1  dann ist   ß eine

Permutation auf { 1,...,n},mit f ( ß) = α.   
Also f surjektiv.