Zeigen Sie, dass die Gruppen Aff1(R) und U isomorph sind.

Question

Sei Aff¹(R) ⊆ R[X] die Menge der Polynome der Form aX + b mit a, b ∈ R und a ̸= 0.

(a) Zeigen Sie, dass für f(X),g(X) ∈ Aff1(R) auch die Komposition
(f ◦ g)(X) := f(g(X))

(g(X) eingesetzt in f) ein Element von Aff1(R) ist.

(b) Die Menge Aff¹(R) bildet mit der Verknüpfung ◦ eine Gruppe. Geben Sie das neutrale Element an und bestimmen Sie das Inverse zu f(X) = aX + b.

(c) Zeigen Sie, dass die folgende Menge eine Untergruppe von GL₂(R) bildet:
          a b   
U:= {( 0 1 )} ∈R ^2x2 I a, b ∈R, a ungleich 0 } .

(d) Zeigen Sie, dass die Gruppen Aff¹(R) und U isomorph sind.

Answer 1

Hallo

a) im anderen thread.

b) neutrales Element  n(x)=x denn f(n(x))=f(x)

a(g(x)+b=x  mit g(x)=cx+d hast du ac=1 und b+ad=0 also d=-b/a damit hast du das Inverse.

bei c) fehlt mir die Verknüpfung. in U hast du den Teil wörtlich abgeschrieben

Gruß lul