Gegebene Gruppen isomorph?

Question

Aufgabe:

Sind die Gruppen isomorph?

a) (R\0,*)x(R\0,*) und (R\0,*)
b) S_n-1 und die Untergruppe U:=(σ∈ S_n; σ(n)=n) für ein gegeben n>1.

(S_n ist die symmetrische Gruppe.)

Kann jemand helfen?
Ich denke, dass a kein Isomorphismus ist, da eine solche Abbildung nicht injektiv sein kann.
B sollte ein Isomorphismus sein, meine Idee hierfür ist: f:U→ S_n-1, a(n)=σ(n+1). Bin mir allerdings sehr unsicher :(

Answer 1

Ich denke, dass a kein Isomorphismus ist, da eine solche Abbildung nicht injektiv sein kann.

Da beide Mengen gleichmächtig sind, ist dies Argument "fragwürdig".

Stattdessen dieser Tipp zu a)

Betrachte die selbstinversen Elemente der beiden Gruppen.
Das sind links und rechts nur endlich viele und ein Iso
muss sie bijektiv auf einander abbilden ...

Comments

Also irgendwie merke ich noch nicht, warum das ganze dann kaputt geht…

Beide haben eine eindeutige Inverse, die sich ja auch nur auf eine Weise darstellen lässt. Ich sehe gerade nicht, was ich übersehe :(

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Die Menge der selbstinversen Elemente der linken

Gruppe bilden die Untergruppe

\(\{(+1,+1),(+1,-1),(-1,+1),(-1,-1)\}\)

Die Menge der selbstinversen Elemente der rechten Gruppe ist

\(\{+1,-1\}\).

Ein Element \(x\) ist selbstinvers, wenn \(x^2\) das neutrale Element

der Gruppe ist ... Nun nimm an, dass du einen Iso hast ...