Assoziativgesetzt ist ja durch den Kommentar erledigt.
Wirklich zu zeigen ist jedenfalls die Abgeschlossenheit.
Also wenn du 2 Elemente der Form aus G multiplizierst,
muss wieder was aus G rauskommen.
Dem ist so:
\( ( a+b\sqrt{2}) \cdot ( c+d\sqrt{2}) = (ac+2bd) + (ad+bc) \sqrt{2}\)
ist aus G , weil für rationale a,b,c,d auch ac+2bd
und ad+bc rational sind und und die Bedingung
(ac+2bd)^2 + (ad+bc)^2 ≠ 0 ist auch erfüllt.