Gruppenbeweis: Verständnisproblem bei Definition

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass $$(G, \cdot)$$ mit  $$G = \left\{a+b\sqrt{2} : a,b \in \mathbb{Q}, a^2 + b^2 \neq 0  \right\}$$ und der gewöhnlichen Multiplikation eine Gruppe ist.

Problem/Ansatz:

Ich würde bei dieser Aufgabenstellung generell einfach die Gruppenaxiome abarbeiten angefangen mit der Assoziativität, allerdings verwirrt mich die Mengendefinition etwas. Ich soll ja erstmal zeigen: $$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$$ aber wie genau setze ich die Definition in das Assoziativgesetz ein?

Comments

Offenbar ist G eine Teilmenge der reellen Zahlen. Da das Assoziativgesetz bekanntlich in ℝ gilt, gilt es damit auch in G. Das muss also nicht explizit nachgerechnet werden.

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daran hatte ich noch gar nicht gedacht, allerdings denke ich, dass die Dozenten wollen, dass wir das Assoziativgesetz explizit zeigen, wie würde ich das dann in diesem Fall machen? Ist ja auch gut für das Verständnis.

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allerdings denke ich, dass die Dozenten wollen, dass wir das Assoziativgesetz explizit zeigen,

Das glaube ich eher nicht. Ganz im Gegenteil möchten

"die Dozenten" meistens, dass man erkennt, dass die Assoziativität

sogar bereits in einer Obermenge bekannt ist, hier also erst recht

gilt. Natürlich kann ich dafür nicht die Hand ins Feuer legen ...

Answer 1

Assoziativgesetzt ist ja durch den Kommentar erledigt.

Wirklich zu zeigen ist jedenfalls die Abgeschlossenheit.

Also wenn du 2 Elemente der Form aus G multiplizierst,

muss wieder was aus G rauskommen.

Dem ist so:

\(  ( a+b\sqrt{2}) \cdot ( c+d\sqrt{2}) = (ac+2bd) + (ad+bc) \sqrt{2}\)

ist aus G , weil für rationale a,b,c,d auch ac+2bd

und ad+bc rational sind und und die Bedingung

(ac+2bd)^2  + (ad+bc)^2 ≠ 0 ist auch erfüllt.

Answer 2

Interessant ist das Inverse \((a+b\sqrt{2})^{-1}\) für \(a^2+b^2\neq 0\)

Hier benötigst du die Tatsache, dass \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\) ist.

Comments

vielen Dank!