zu 1: Zeige a) R ist additive Untergruppe von ( ℝ , + ) .
Da alle S∈P abgeschlossen bzgl. + sind, ist der Durchschnitt das auch.
Entsprechend auch: 0 aus dem Durchschnitt und
mit jedem x auch -x aus dem Durchschnitt.
Abgeschlossen gegenüber * ist auch erfüllt, da alle
Teilnehmer am Durchschnitt abg. gegenüber * sind.
zu 2. Sei P (wie oben) die Menge aller Unterringe von ℝ,
die √a enthalten. Dann enthält jedes Element von P wegen
der Abgeschlossenheit gegenüber * auch √a * √a = a .
Da für alle S ∈ P gilt √a ∈ S und a ∈ S
==> a + √a ∈ S
==> √a * ( 1 + √a ) ∈ S
Wegen √a ∈ S also auch 1 + √a ∈ S .
Und mit √a ∈ S ist auch -√a ∈ S also auch
die Summe -√a + ( 1 + √a ) = 1 .
Somit ist für alle S ∈ P 1∈ S
und damit auch 1+1 und 1+1+1 und deren Negativa, also ℤ⊆S.
Weil das für alle S gilt, gilt es auch für deren Durchschnitt.
Und R ist der "kleinste" Ring mit dieser Eigenschaft, denn:
Wenn √a und ℤ enthalten sind, dann ist auch jede
Linearkombination x+y* √a in jedem S enthalten
und die Menge dieser x+y* √a bioldet einen
Unterring von ℝ, der √a enthält, nimmt also
am Durchschnitt teil.
