Wie wendet man den Ringisomorphiesatz richtig an und findet eine geeignete Abbildung?

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass Z[x]/(x² −d) ≃ Z[√d], wobei d ≥ 1 eine ganze
Zahl ist, so dass es kein k ∈ Z, k ≠1 gibt, mit k²|d, und Z[√d] = {a + b√d : a, b ∈Z} ist ein Ring bezüglich der Addition und Multiplikation von reellen Zahlen.

Problem/Ansatz:

… Mir ist bewusst, dass ich hier die Ringisomorphie mittels des Ringisomorphiesatzes lösen soll.

Leider finde ich keine passende Abb. für Z[x] -> Z[√d], um die Ringhomomorphie erstmal zu beweisen. Meine Gedanken waren erstmal x -> √d abbilden zu lassen. Leider wird da nicht mal f(a+b)= f(a)+f(b) erfüllt. Da wenn man es einsetzt links, √2d drinstehen würde und recht 2√d stehen würde.

Hätte jmd. eine Idee welche Abb. vielleicht geeignet wäre? Oder hätte jemand ein Tipp für mich?

Auf eine Antwort würde ich mich sehr freuen.

Comments

Warum Isomorphiesatz und nicht Homomorphiesatz?

Deine Idee den Einsetzungshomomorphismus zu nutzen ist schon richtig. Dein Problem mit der Additivität kann ich nicht nachvollziehen. Die universelle Eigenschaft des Polynomrings sagt, dass das ein Ringhomomorphismus ist!

---

Erstmal danke für die Antwort :)

Also mit dem Homomorphiesatz für kommutative Ringe hattest du Recht.

Was genau meinst du mit der universellen Eigenschaft eines Polynomrings? Und denkst du die erste Abbildung Z[x] -> Z[√d], x -> √d ist gut gewählt um eben im endeffekt zu zeigen, dass Z[x]/(x² −d) ≃ Z[√d] isomorph ist.

---

Muss das später neu formulieren.

---

Die universelle Eigenschaft des Polynomrings sagt:

Sind R, S unitäre kommutative Ringe und ist ein Ringhomom. \( \varphi ~:~ R \to S \) sowie ein Element \( s \in S \) gegeben, so gibt es genau einen Ringhomom. \( \Phi ~:~ R[T] \to S \) mit \( \Phi|_R = \varphi \) und \( \Phi(T) = s \).

Dieser hat dann die Abbildungsvorschrift

$$ f = \sum_{k=0}^n a_k T^k ~\mapsto f^\varphi(s) = \sum_{k=0}^n \varphi(a_k)s^k $$

Der Einsetzungshomomorphismus eben.

Wie kannst du das auf dein Setting anwenden?

Du weißt, dass \( \mathbb Z \subseteq \mathbb Z[\sqrt{d}] \) unitäre kommutative Ringe sind. Als \( \varphi \) kannst du einfach die natürliche Einbettung \( \iota ~:~ \mathbb Z \hookrightarrow \mathbb Z[\sqrt{d}] \) verwenden, das ist offensichtlich ein Ringhomom. Dann nimmst du \( s = \sqrt{d} \in \mathbb Z[\sqrt{d}] \) und erhältst so direkt, dass

$$ f = \sum_{k=0}^n a_k T^k ~\mapsto f^\iota(\sqrt{d}) = \sum_{k=0}^n \iota(a_k)\sqrt{d}^k = \sum_{k=0}^n a_k\sqrt{d}^k $$

ein Ringhomomorphismus sein muss.

---

Ich danke dir vielmals für die ausführliche Erklärung. Jetzt kann ich zumindest mit der Aufgabe was anfangen:) Ich wünsche dir noch einen schönen Abend.