Zeigen Sie, dass es sich bei folgender Matrix um einen Unterring bzw. ein Ringhomomorphismus handelt.

Question

ich habe Schwierigkeiten bei folgender Aufgabe. Um ehrlich zu sein, habe ich keine Ahnung was man tun muss. Eine vollständige Lösung wäre sehr hilfreich und würde mir helfen, die Aufgabe zu verstehen.

Sei U die Menge der 2×2-Matrizen über dem Körper ℝ, deren Eintrag für die erste Zeile und zweite
Spalte Null ist. Also
U = { _{\( \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & c \end{pmatrix} \) | a,b,c ∈ ℝ}}

1.⟨ℝ^2×2 , +, · ⟩ bildet mit der Matrixaddition und Matrixmultiplikation einen Ring mit 1. Zeigen
Sie, dass ⟨hU, +, ·⟩i ein Unterring von ⟨ℝ^2×2 , +, · ⟩ ist.
Hinweis: Die Eigenschaften der Verknüpfungen können durch die Abgeschlossenheit von U
unter Matrixaddition und Matrixmultiplikation gezeigt werden.

2. Zeigen Sie, dass die Abbildung
h : U → ℝ
\( \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & c \end{pmatrix} \)↦ c

ein Ringhomomorphismus von ⟨U, +, ·⟩ nach ⟨ℝ, +, ·⟩ ist.

,

MfG

Answer 1

Zeigen Sie, dass ⟨U, +, ·⟩ ein Unterring von ⟨ℝ^2×2 , +, · ⟩ ist.

Du musst nur die Abgeschlossenheit bzgl. + und · zeigen und dass U nicht

leer ist.   Letzteres ist klar, weil die 0-Matrix in U liegt.

Sind also A und B in U , dann sehen die so aus :

$$ A= \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & c \end{pmatrix}  ; a,b,c ∈ ℝ$$

$$B=\begin{pmatrix} d & 0 \\ e & f \end{pmatrix}  ; d,e,f ∈ ℝ$$

Die Summe ist dann

$$ A+B= \begin{pmatrix} a+d & 0 \\ b+e & c+f \end{pmatrix}  $$

und das ist auch eine Matrix, deren Eintrag für die erste Zeile und zweite

Spalte Null ist, also wieder in U.  Somit ist U abgeschlossen gegenüber der

Addition.  Entsprechend zeigst du auch die

Abgeschlossenheit gegen über der Multiplikation.