Ringhomomorphismus eindeutig zeigen

Question

Es sei f : ℚ → R ein Homomorphismus von Ringen und in R gelte 0≠ 2.

Zeigen Sie, dass f bereits eindeutig durch die Einschränkung

von f entlang von i: ℤ → ℚ festgelegt ist, d. h. dass für jeden weiteren Homomorphismus

g : ℚ → R mit g ◦ i = f ◦ i bereits g = f gelten muss

Versteht jemand diese Aufgabe und kann mir sie vielleicht sogar vorrechnen ? Ich komme leider gar nicht damit klar. Danke !

Answer 1

Du hast also für jedes x∈ℤ schon mal das i(x) eindeutig festgelegt.

Also ist insbesondere i(1) = 1_R  schon festgelegt, denn bei einem Ringhom. wird

immer das 1-Element auf das 1-Element abgebildet.

Und weil i eine Einschränkung von f ist, gilt für alle x∈ℤ  f(x)=i(x).

Wenn du nun für ein y∈ℚ\ ℤ  den Wert f(y) haben willst, wird ja hier

behauptet, dass der immer durch die Werte von i schon eindeutig

bestimmt ist. Betrachte mal erst solche y , die von der Form x^(-1) mit x∈ℤ

sind. Dann gilt

1_R = f(1) = f ( x *  x^(-1) ) und wegen Hom

    1_R       = f(x) * f(x^(-1) )  =   i(x) * f(x^(-1) )

==>   f(x^(-1) ) = 1_R * (i(x))^(-1)  = i(x)^(-1).

Jedes andere Element von y∈ℚ\ ℤ  lässt sich  als  y= p/q = p*q^(-1)darstellen

mit p,q ∈ ℤ.

==>   f(y) = f( p * q^(-1) ) = f(p) * f(q^(-1)) = i(p) *  i(q)^(-1).

Damit ist f für y∈ℚ bestimmt und bei der Herleitung

wurde nur die Festlegung auf ℤ und die Hom-Eigenschaft benuzt.

Also gilt das für jeden Hom von ℚ nach R.