Das ist eine Aufgabe, deren Lösung viel Schreibarbeit bedeutet.
Daher zeige ich nur Auszüge, um die Methode zu demonstrieren:
0. Eigenschaft von \(g\):
Es gilt \(g(n)=1+\cdots+1\text{ (n Summanden)} =n\cdot 1\).
Das ist leicht zu zeigen ...
1. Wohldefiniertheit:
Zu zeigen ist: \([m,n]=[r,s]\Rightarrow g(m)-g(n)=g(r)-g(s)\).
Beweis:
\([m,n]=[r,s]\Rightarrow m+s=r+n\Rightarrow\)
\(g(m)+g(s)=m\cdot 1+s\cdot 1=(m+s)\cdot 1=(r+n)\cdot 1=\)
\(=r\cdot 1+n\cdot 1=g(r)+g(n)\). In R gilt also
\(g(m)-g(n)=g(r)-g(s)\).
2. Multiplikativität:
In Z gilt \([m,n]\cdot [r,s]=[mr+ns,ms+nr]\).
Mit dieser Multiplikationsdefinition erhalten wir
\(f([m,n)f([r,s])=(g(m)-g(n))(g(r)-g(s))=\)
\(=(m\cdot 1-n\cdot 1)(r\cdot 1-s\cdot 1)=\)
\(=(mr+ns)\cdot 1-(ms+nr)\cdot 1=\)
\(=g(mr+ns)-g(ms+nr)=f([mr+ns,ms+nr])=\)
\(=f([m,n]\cdot [r,s])\).
