Sei h: ℝ2×2→ℝ2×2 die lineare Abbildung, die durch h(A)=AM−MA gegeben ist. Geben Sie eine Basis von ker h an.

Question

Aufgabe:

Sei V = ℝ^2×2 und M =\( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \) . Sei h : V → V die lineare Abbildung, die durch h(A) = AM−MA
definiert ist. Geben Sie eine Basis und die Dimension von ker h an.

Problem/Ansatz:

Ich hab zunächst einfach mal 0=\( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \)-\( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \)\( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) gesetzt und nach vereinfachen kommt bei mir dann 0=\( \begin{pmatrix} -2c & 2a+2b-2d \\ -2c & 2d \end{pmatrix} \) raus. c muss dann auf jeden fall 0 sein, es scheint aber, dass man a, b und d relativ viel freiheit hat, aber es muss a+b=d sein. Also sind dann Matritzen der Form \( \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a+b \end{pmatrix} \) Element von ker h. Ich bin mir nun aber nicht so ganz sicher, wie man damit die Basis von ker h angeben kann. Die Dimension kann man dann eh leicht aus der Basis ablesen.

Ist mein Ansatz soweit richtig, bzw wie sieht dann die Basis von ker h aus?

Answer 1

Hallo :-)

Deine Rechnungen sehen gut aus, bis auf einen kleinen (aber unerheblichen Tippfehler). Deine Ergebnismatrix muss lauten:

\( \begin{pmatrix} -2c & 2a+2b-2d \\ -2c & 2c\end{pmatrix} \).

Damit betrachtest du nun

\( \begin{pmatrix} -2c & 2a+2b-2d \\ -2c & 2c\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} \)

Wie du richtig erkannt hast, folgt \(c=0\) und \(d=a+b\), wobei \(a,b\in \R\) freie Variablen sind. Das setze ich mal in \(A\) ein:

\(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\0&a+b\end{pmatrix}=a\cdot \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+b\cdot \begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}\).

Die beiden Matrizen \(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}\) sind linear unabhängig. Das kann man dadurch untersuchen, indem du mal beide Matrizen ,,auseinander" rollst und folgende Gleichheit betrachtest:

$$ t\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix} $$

Matrix-Vektor-Schreibweise:

$$ \begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\\1&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}t\\s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix} $$

oder als erweiterte Koeffizientenmatrix:

$$ \left(\begin{array}{cc|c}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\1&1&0\end{array}\right) $$

und daraus erkennst, dass \(s=t=0\) folgt, sodass beide Matrizen linear unabhängig sind.