Aufgabe:
Sei V ein K-Vektorraum und sei f : V → V eine lineare Abbildung.
(i) Zeigen Sie, dass Vf := {v ∈ V | f(v) = v} ein Unterraum von V ist.
(ii) Sei V = ℝ2. Sei a ∈ ℝ und sei fa : ℝ2 → ℝ2 gegeben durch
fa (x y) = (ax-y -x+ay)
Bestimmen Sie Vfa in Abhängigkeit von a.
Problem/Ansatz:
Mein Ansatz zu (i):
Hier muss man ja nur die Unterraumaxiome nachprüfen:
U1: 0∈Vf
Da V ein K-Vektorraum ist, folgt direkt die Existenz eines neutralen Elements 0 ∈ V mit v ⊕ 0 = 0 ⊕ v = v und es ist f(0) = 0
Demnach ist 0 ∈ Vf
U2: Für alle v,u ∈ Vf gilt v+u ∈ Vf
Sei v = (a1,...,an) und u = (b1,...bn) mit a1,...an,b1,...bn ∈ K
Dann ist v+u=(a1+b1,...an+bn) ∈ V wegen der Abgeschlossenheit bezüglich der Addition in K und wegen der linearen Abbildung folgt: f(v+w) = f(v)+f(w) ∈Vf
U3: So ähnlich wie U2
Meine Idee zu (ii):
Hätte man dann nicht einfach Vfa = { v ∈ ℝ2 | fa(x y) = (ax-y x+ay) }
Oder muss man hier noch etwas beachten?
Würde mich über Hilfe freuen.