Sei fa : ℝ2 → ℝ2 gegeben durch fa (x y) = (ax-y -x+ay) Bestimmen Sie Vfa in Abhängigkeit von a.

Question

Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum und sei f : V → V eine lineare Abbildung.
(i) Zeigen Sie, dass V^f := {v ∈ V | f(v) = v} ein Unterraum von V ist.
(ii) Sei V = ℝ². Sei a ∈ ℝ und sei f_a : ℝ² → ℝ² gegeben durch
f_a (x y) = (ax-y -x+ay)
Bestimmen Sie V^fa in Abhängigkeit von a.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz zu (i):
Hier muss man ja nur die Unterraumaxiome nachprüfen:
U1: 0∈V^f
Da V ein K-Vektorraum ist, folgt direkt die Existenz eines neutralen Elements 0 ∈ V mit v ⊕ 0 = 0 ⊕ v = v und es ist f(0) = 0
Demnach ist 0 ∈ V^f

U2: Für alle v,u ∈ V^f gilt v+u ∈ V^f
Sei v = (a₁,...,a_n) und u = (b₁,...b_n) mit a₁,...a_n,b₁,...b_n ∈ K
Dann ist v+u=(a₁+b₁,...a_n+b_n) ∈ V wegen der Abgeschlossenheit bezüglich der Addition in K und wegen der linearen Abbildung folgt: f(v+w) = f(v)+f(w) ∈V^f
U3: So ähnlich wie U2

Meine Idee zu (ii):

Hätte man dann nicht einfach V^fa = { v ∈ ℝ² | f_a(x y) = (ax-y x+ay) }
Oder muss man hier noch etwas beachten?

Würde mich über Hilfe freuen.

Answer 1

Hallo

i ist richtig, nur warum du u und v erst als Buchstaben n Tupel hinschreibst ist wenig hilfreich

besser seien u und v  mit f(u)=u und f(v)= v dann folgt aus der Linearität von f--

Fehlt in ii ein Komma? als fa (x , y) = (ax-y,  -x+ay)

dann ist doch V^f durch f(x,y)=(x,y) definiert und du has 2 Gleichungen . für x und y

lul

Comments

Fehlt in ii ein Komma? als fa (x , y) = (ax-y, -x+ay)

Nein fa (x y) = (ax-y -x+ay) ist schon richtig, das sollte als Vektor aufgefasst sein, also

fa = (x) = (ax-y)
       (y)    (-x+ay)

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dann stimmt ja meine Antwort, es ist äußerst ungewöhnlich einen Vektor \( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \) als (xy) zu schreiben, macht ihr das wirklich, wenigstens (x,y) um es von x*y  zu unterscheiden?

lul

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wir schreiben Vektoren so \( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \), ich habe nur (x y) geschrieben, damit man das als Vektor versteht (ich kenne mich mit LaTeX nicht so gut aus) Sorry für die Verwirrung

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Hallo

wenn man Vektoren in einer Zeile schreibt, dann immer mit Komma zwischen den Komponenten, wenn man zeigen will, dass es eigentlich ein Spaltenvektor ist  dann schreibt man (x,y)^T   für transponiert.

lul

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dann ist doch Vf durch f(x,y)=(x,y) definiert und du has 2 Gleichungen . für x und y

Meinst du ax-y=x und -x+ay=y?
Dann habe ich mit dem Cramer Verfahren x=(a*x+y)/(a^2*x-x) und
y=(x+a*y)/(a^2*y-y) rausbekommen.

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Hallo

du hast die 2 Gleichungen

(a-1)x - y=0

x -(a-1)y=0

(überprüfe!)

die du nach x  und y auflösen musst, dann sollte y nicht mehr in x=... vorkommen, was du gemacht hast versteh ich nicht  du hast einfach dividiert??

lul

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Ich habe die Gleichungen aufgelöst und für a = 0 und a = 2 herausbekommen. Ich verstehe aber nicht wie mir das weiterhelfen soll.

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Hallo

du willst nicht a bestimmen sondern x und y nämlich den Vektor (x,y) der von f in sich abgebildet wird. Irgendwie hast du das Ziel aus den Augen verloren !

lul

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Ich habe für y = (a-1)x und für x = (a-1)y herausbekommen, also als Vektor

v = ((a-1)y, (a-1)x)

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nochmal

du hast jetzt behauptet dass alle Vektoren (a-1)*(x,y) auf sich abgebildet werden, das heisst all Vektoren aus R^2 ?

du musst nicht x(y) bestimmen sondern x(a) wenn es das für alle a gibt.

vielleicht nimmst du mal ne Zahl für a?

erstmal a=0 und 2, als deinem vergangenen post, dann  eine andere Zahl.

Gruß lul

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Sorry kannst du mir die (ii) vorrechnen? Ich bin von deiner Erklärung verwirrt

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Kannst du das mal für 3 feste Zahlen a ausrechnen, 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten musst du ausrechnen können!

lul

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Es sei y = (a-1)x und für x = (a-1)y
Fall a = 0:

y = (0-1)x <=> y = -x
x = (0-1)y <=> x = -y

Fall a = 2:

y = (2-1)x <=> y = x
x = (2-1)y <=> x = y

Fall a = 1:

y = (1-1)x <=> y = 0
x = (1-1)y <=> x = 0

Ich verstehe nicht wie ich mit dieser Erkenntnis V^fa in Abhängigkeit von a bestimmen soll.

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Hallo

daraus schließt du: für alle a ausser a=0 und 2 ist V^f der 0 Raum. dazu solltest du noch ein allgemeines a≠0 und ≠2 einsetzen

für a=2 ist V^f Span von (1,1)  oder r*(1,1=

für a=0 ist  V^f  Span von (1,-1)  oder r*(1,-1) r in ℝ

Gruss lul