Aufgabe:
Zeigen Sie, dass sich der Quotientenraum V/U zusammen mit der kanonischen Projektion φ : V → V/U, v → [v], auf die folgende Weise durch eine universelle Eigenschaft definieren lässt.
Sei V ein Vektorraum, U ein Unterraum, und Φ : V ⇒ W eine lineare Abbildung. Angenommen, zu jedem Vektorraum X und jeder linearen Abbildung ψ : V → X mit U ≤ ker ψ gibt es eine eindeutige Abbildung π : W → X mit ψ = π ◦ Φ.
Zeigen Sie dazu, dass V/U mit v → [v] diese Eigenschaft erfüllt, und dass es zwischen W,W′, die diese Eigenschaft erfüllen, stets einen eindeutigen Isomorphismus gibt.
