K-Vektorräume mit Projektion auf den ersten Faktor, U Unterraum. Zeigen, dass Einschränkung...

Question

Aufgabe:

Seien $V$ und $W$ zwei $K$-Vektorräume (nicht unbedingt endlicher Dimension). Sei pr $_{1}: V \times W \longrightarrow V$ die Projektion auf den ersten Faktor und $U \subset V \times W$ ein Unterraum des kartesischen Produkts. Beweisen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

1. Die Einschränkung pr $\left._{1}\right|_{U}$ ist ein Isomorphismus von Vektorräumen.

2. $U$ und $\{0\} \times W$ sind komplementäre Teilräume von $V \times W$.

3. $U$ ist der Graph einer linearen Abbildung $f: V \longrightarrow W$.