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Aufgabe:

Seien V V und W W zwei K K -Vektorräume (nicht unbedingt endlicher Dimension). Sei pr 1 : V×WV _{1}: V \times W \longrightarrow V die Projektion auf den ersten Faktor und UV×W U \subset V \times W ein Unterraum des kartesischen Produkts. Beweisen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

1. Die Einschränkung pr 1U \left._{1}\right|_{U} ist ein Isomorphismus von Vektorräumen.

2. U U und {0}×W \{0\} \times W sind komplementäre Teilräume von V×W V \times W .

3. U U ist der Graph einer linearen Abbildung f : VW f: V \longrightarrow W .

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