Sei V ein K-Vektorraum mit dim(V) = n und U ⊆ V ein K-Untervektorraum. K-lineare Projektion auf U

Question

Sei V ein K-Vektorraum mit dim(V) = n und U ⊆ V ein K-Untervektorraum. Dann gibt es immer eine K-lineare Projektion auf U, d.h.ein π_u ∈Hom_k(V,V)mit
a) im(π_u)=U.
b) π_u(u)=u
Ist π_u eindeutig? Ist eine Abbildung π : V → V , die a) und b) erfüllt, stets K-linear?

Answer 1

Wähle eine Basis \((b_1, \ldots , b_k)\) von U, ergänze diese zu einer Basis \((b_1, \ldots , b_n)\) von V. Definiere die Projektion also lineare Abbildung \(\pi: V \to U\) mit

$$\pi(b_i):=b_i \text{  für }i=1, \ldots,k \qquad \pi(b_i):=0 \text{  sonst}$$

Wegen der Wahlmöglichkeiten für die Basis, ist die Projektion nicht eindeutig bestimmt.