Vielleicht erst einmal ein geometrisches Beipspiel aus dem \(V= \mathbb R^3\):
Die Abbildung \(f:\mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3\) mit \(f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\y\\\color{blue}{0}\end{pmatrix}\) projiziert einen Vektor entlang der \(z-\)Achse (also dem von \(\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\) aufgespannten Unterraum \(T\)) auf die \(xy\)-Ebene (dem Unterraum \(U\)). Offensichtlich gilt \(f\circ f = f\).
Dabei gilt folgendes:
\(T= \ker f\), \( U = \operatorname{im} f\) und \(V= T \oplus U \quad (1)\)
Letzeres bedeutet, dass \( V = T + U\) und zusätzlich gilt \(T\cap U =\{o\}\). Daraus folgt dann, dass jedes \(x \in V\) in eindeutiger Weise zerlegt werden kann \(x=t+u\) mit \(t\in T\) und \(u \in U\).
Wenn eine lineare Abbildung \(f:V\rightarrow V\) die Eigenschaften (1) hat, nennt man sie die Projektion auf \(U\) entlang \(T\) und typische Schreibweisen sind \(\pi_U\) oder \(P_U\).
Das Interessante ist nun, dass es ausreicht, dass eine lineare Abbildung \(f:V\rightarrow V\) die Eigenschaft \(f\circ f= f\) hat, damit (1) gilt. Und genau das ist zu zeigen.
Sei also \(U =\operatorname{im} f \). Es gilt auf jeden Fall
\(x= f(x) + (x-f(x))\)
Es ist \(f(x-f(x)) = f(x) - (f\circ f)(x) = f(x) - f(x) = o \)
\(\Rightarrow x-f(x) \in \ker f\).
Jetzt wissen wir schon \(V= \operatorname{im} f + \ker f\).
Sei nun \(x\in \operatorname{im} f \cap \ker f\). Also \(x=f(y)\) für ein geeignetes \(y\in V\). Nun gilt nach Voraussetzung:
\(o = f(x) = (f\circ f)(y) = f(y) = x \Rightarrow \operatorname{im} f \cap \ker f =\{o\}\).
Also \(V = \operatorname{im} f \oplus \ker f\).
\(f\) ist daher die Projektion auf \(U =\operatorname{im} f \) entlang \(T = \ker f\).
