Beweis Determinante und Spur

Question

Ich verstehe das mit der Spur nicht so richtig. Hat jemand eine Idee?

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Gegeben sei eine beliebige \( 2 \times 2 \)-Matrix
\( A=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) \in \mathbb{C}^{2 \times 2} \)
Die Spur einer solchen Matrix ist definiert \( \operatorname{durch} \operatorname{Spur}(A):=a+d \).
(a) Zeigen Sie, dass
\( \operatorname{det}\left(A-\lambda E_{2}\right)=\lambda^{2}-\lambda \operatorname{Spur}(A)+\operatorname{det}(A) \)
für alle \( \lambda \in \mathbb{C} \) gilt.
(b) Zeigen Sie, dass
\( \operatorname{det}(A+B)=\operatorname{det}(A)+\operatorname{det}(B)+\operatorname{Spur}\left(B A^{\#}\right) \)
für alle Matrizen \( A, B \in \mathbb{C}^{2 \times 2} \) gilt, wobei \( A^{\#}=\left(\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right) \) für \( A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \) ist.

Comments

Das ist doch eine reine Rechenaufgabe!?

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Hast du vielleicht einen Ansatz für mich? Ich weiss  nicht wie ich das genau berechnen soll

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Indem du einfach ausrechnest und die Ergebnisse vergleichst.

Answer 1

Einfach die Definition benutzen und ausrechnen:

\( \operatorname{det}\left(A-\lambda E_{2}\right)   \)

\( = \operatorname{det}\left(\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) -\lambda E_{2}\right)    \)

\( = \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \end{array}\right)    \)

\( = (a-\lambda)\cdot(d-\lambda) - b \cdot c = \lambda^2  -a\lambda-d\lambda+ a \cdot d - b \cdot c \)

\( = (a-\lambda)\cdot(d-\lambda) - b \cdot c = \lambda^2  -(a+d)\lambda+ a \cdot d - b \cdot c \)

\( = (a-\lambda)\cdot(d-\lambda) - b \cdot c = \lambda^2  -\lambda\cdot Spur(A)+ det(A) \)