Geben Sie Basen vom Kern und vom Bild linearer Abbildungen an.

Question

Aufgabe:

Geben Sie Basen vom Kern und vom Bild der folgenden linearen Abbildungen an. Was ist jeweils die Matrix der Abbildung bezüglich der Standardbasen der beiden Vektorräume?

a) \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, f(x)=\left(x_{1}, 2 x_{2}\right) \)

b) \( g: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, g(x)=\left(0, x_{2}+5 x_{3}, x_{1}\right) \)

c) \( h: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, h(x)=\left(x_{2}+x_{3}, 2 x_{2}-x_{1}\right) \)

Answer 1

a) f(1,0,0) = (1,0); f(0,1,0) = (0,2) ; f(0,0,1) = (0,0) ; (ohne Gewähr) ; ergibt die Matrix ; ((1 , 0, 0 ) ; ((0, 2 , 0 ) ).; Das sollte eigentlich aus meinem Tipp herausgelesen werden können. Falls nichts dergleichen in deinen Unterlagen steht, darfst du meinen Tipp wahrscheinlich noch gar nicht benutzen.

Tipp: In den Spalten der Abbildungsmatrix stehen jeweils die Bildvektoren welcher Vektoren?

Diese könntest du ja schon mal ausrechnen.

Comments

Danke schonmal für die Antwort, aber benötige ich nicht eine Matrix um die Bildvektoren zu berechnen?

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Die kannst du mit den gegebenen Funktionen ausrechnen.

a) f(1,0,0) = (1,0)

f(0,1,0) = (0,2)

f(0,0,1) = (0,0)

(ohne Gewähr).

Vektoren bitte selbst als Spalten darstellen. Verstehst du, was ich rechne?

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a)
(1,0,0)*(1,2)=((1*1)(0*2))=(1,0)

(0,1,0)*(1,2)=((0*1)(1*2))=(0,2)

(0,0,1)*(1,2)=((0*1)(0*2))=(0,0)

War das hier deine Rechnung?

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Du hast: f(x) = (x_1 , 2 x_2)mit x = (x_1, x_2, x_3) und die Komponenten dann einsetzen.a) f(1,0,0) = (1,0) hier war x_1= 1, x_2=0, x_3=0 , f(0,1,0) = (0, 2 * 1) = (0,2) hier war x_1= 0, x_2=1, x_3=0 , f(0,0,1) = (0,0) hier war x_1= 0, x_2=0, x_3=1 ,Leider entfernt der Editor die Zeilenumbrüche.

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Spätestens wenn du die Abbildungsmatrix hast, kannst du vermutlich auch Bild und Kern bestimmen.

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Vielen Dank schonmal, aber ich verstehe immer noch nicht ganz was jetzt meine Matrix ist

ist meine Matrix einfach die:

1 0 0

0 1 0

0 0 1

?

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Ich habe die Matrix in der Antwort ergänzt. (Hoffe auf lesbare Darstellung) ; Habe nun in der ergänzten Antwort ; geschrieben, wo ein Zeilenumbruch war. Darstellung tut nicht in meinem Browser.