Bild und Kern linearer Abbildungen bestimmen

Question

Ich soll jeweils Kern und Bild der folgenden linearen Abbildungen bestimmen:

a) ƒ: V → W, x↦0

b) \( \frac{d}{dx} \): ℝ[x] → ℝ[x], p↦\( \frac{d}{dx} \)(p)

Ich kenn die Definitionen von Kern und Bild einer linearen Abbildung und wenn die Funktionsbeschreibung anders wäre (also z.B. f(~e1) =~e1−~e2+ 3~e3, etc.) könnte ich die Aufgabe auch lösen..

Bei den zwei Aufgaben schaffe ich es aber nicht die "Brücke" zur Lösung zu bauen. Die Funktionsbeschreibung bei a) also das der Vektor x im V Raum auf den Vektor 0 im W Raum abgebildet wird oder bei der b) das p auf der Ableitung \( \frac{d}{dx} \)p abgebildet wird macht mich ratlos...

Ich hoff jemand kann mir dabei helfen...

Besten Gruß und schönen Nachmittag euch!

Comments

Hallo,

wenn die Aufgabe a) richtig wiedergegeben ist steht da: \(\forall x \in V: f(x)=0\). Jetzt schreibe die - formelmäßige -  Definition von Kern(f) auf und vergleiche. Ebenso für Bild(f).

Gruß

Answer 1

Im Kern liegen alle Elemente von f , die auf 0 abgebildet werden.

Hier sind das eben alle, also Kern(f)=V und Bild(f)={0}

b) Die Abbildung ist ja durch die Ableitung des abzubildenden

Polynoms bestimmt.

Kern: Welche Polynome haben als Ableitung das 0-Polynom ?

Alle konstanten, also Kern(d/dx) = {p∈ℝ[x] | grad(p)=0}

                                                  =  {p∈ℝ[x] | ∃a∈ℝ p=a}

Bild(d/dx) = ℝ[x] , denn jedes Polynom kann als Ableitung eines

anderen entstehen.