Bild und Kern von linearer Abbildung f: M_(n)(K) -> M_(n)(K) mit f(A)=A^t-A.

Question

Sei f: M_n(K) -> M_n(K) eine lineare Abbildung gegeben durch f(A)=A^t-A. Nun soll man eine Basis von Bild(f) und eine Basis von Ker(f) bestimmen wenn n=3 ist.

Bild(f) sind ja dann Matrizen von der Form:

0	a21-a12	a31-a13
a12-a21	0	a32-a23
a13-a31	a23-a32	0

Wie bestimmt man davon jetzt eine Basis?

Und Ker(f) sind ja symmetrische Matrizen A. Also von der Form:

x	a	b
a	y	c
b	c	z

WIe bestimmt man davon eine Basis?

Gruss

Answer 1

Grad so wie in dieser Aufgabe:

https://www.mathelounge.de/372557/unterraume-basis-und-dimension-bestimmen

Comments

Stimmt so hab ich auch versucht aber ich bekomme bei beiden Basen mit 6 Matrizen. Also z.B. für die Basis von Kern(f):
B = {

0	1	0
1	0	0
0	0	0

,

0	0	1
0	0	0
1	0	0

,

0	0	0
0	0	1
0	1	0

,

1	0	0
0	0	0
0	0	0

,

0	0	0
0	1	0
0	0	0

,

0	0	0
0	0	0
0	0	1

}

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Die Bildmatrizen sind schiefsymmetrisch und haben nur drei Freiheitsgrade.

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Wieso ist sie schiefsymmetrisch? Die Funktion ist ja f(A)=A^t-A und dann dürfen doch irgendwelche x,y,z∈K auf der Diagonalen stehen weil wenn man die Matrix A von A^t abzieht wird die Diagonale ja Null egal was da steht.

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Ah die Bildmatrizen, sry ich habs falsch gelesen!

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Die Bildmatrizen sind schiefsymmetrisch. Die Kernmatrizen sind symmetrisch. Deine Basis für den Kern stimmt. Es fehlt noch die Basis für das Bild. Die hast Du nicht hingeschrieben, aber gesagt, dass die auch aus sechs Elementen besteht. Das ist falsch.

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Ja sorry für die Verwirrung, ich hatte es tatsächlich übersehen. Jetzt ist alles paletti danke für die Hilfe!