Kern und Dimension linearer Abbildungen bzw. Polynome

Question

1. Aufgabe Gegeben seien die beiden Abbildungen $L_{1}, L_{2}$
$$\begin{array}{ll} {L_{1}: \mathbb{R}_{\leq 4}[x] \rightarrow \mathbb{R}^{2,2} ;} & {a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e \mapsto\left(\begin{array}{cc} {b-2 e} & {b+e} \\ {-2 e} & {a-4 d} \end{array}\right)} \\ {L_{2}: \mathbb{R}^{2,2} \rightarrow \mathbb{R}_{\leq 2}[x] ;} & {\left(\begin{array}{cc} {a} & {b} \\ {c} & {d} \end{array}\right) \mapsto a x^{2}+(c+d) x-b-1} \end{array}$$
(a) Überprüfen Sie, ob die Abbildungen $L_{1}, L_{2}$ linear sind.
(b) Bestimmen Sie Kern( $L_{1}$ ) und seine Dimension.
(c) Bestimmen Sie dim(Bild( $\left.L_{1}\right)$ ).
(d) Ist $L_{1}$ injektiv/surjektiv/bijektiv?

Hinweis: Zur Lösung von (c) muss das Bild nicht bestimmt werden.

Könnte mir bitte jemand die Lösung zu b) und c) schreiben, ich habe schon alles berechnet, aber ich hätte gerne eine Möglichkeit mein Ergebnis zu kontrollieren. Dankeschön an denjenigen :).

Comments

Iwer, bitte?

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Schreib doch deine Lösung hier rein. Bestätigen geht schneller....

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c) Bei der dim(Bild) komme ich auf 3.

b) Beim Kern bin ich mir nicht sicher... Ich komme auf Kern(L1)=s*(4x⁴+x) dann wäre dim(Kern)=1

aber da muss ich irgendwo was falsch gemacht haben...

Die anderen Aufgaben haben mir keine Probleme bereitet...

Answer 1

der Kern von $L_1$ wird von den Polynomen $4x^4+x$ und $x^2$ aufgespannt und hat die Dimension 2.

Gruß

Comments

Stimmt. Hab x² vergessen, danke.