1. Aufgabe Gegeben seien die beiden Abbildungen \( L_{1}, L_{2} \)
$$ \begin{array}{ll} {L_{1}: \mathbb{R}_{\leq 4}[x] \rightarrow \mathbb{R}^{2,2} ;} & {a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e \mapsto\left(\begin{array}{cc} {b-2 e} & {b+e} \\ {-2 e} & {a-4 d} \end{array}\right)} \\ {L_{2}: \mathbb{R}^{2,2} \rightarrow \mathbb{R}_{\leq 2}[x] ;} & {\left(\begin{array}{cc} {a} & {b} \\ {c} & {d} \end{array}\right) \mapsto a x^{2}+(c+d) x-b-1} \end{array} $$
(a) Überprüfen Sie, ob die Abbildungen \( L_{1}, L_{2} \) linear sind.
(b) Bestimmen Sie Kern( \( L_{1} \) ) und seine Dimension.
(c) Bestimmen Sie dim(Bild( \( \left.L_{1}\right) \) ).
(d) Ist \( L_{1} \) injektiv/surjektiv/bijektiv?
Hinweis: Zur Lösung von (c) muss das Bild nicht bestimmt werden.
Könnte mir bitte jemand die Lösung zu b) und c) schreiben, ich habe schon alles berechnet, aber ich hätte gerne eine Möglichkeit mein Ergebnis zu kontrollieren. Dankeschön an denjenigen :).
