Prüfung des Konvergenzradius und der Randpunkte -> eventuell Prüfung meiner Lösung

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( \sum \frac{1}{\sqrt{k}} x^{k} \)

Problem/Ansatz:

durch die Berechnung des Konvergenzradius komme ich auf den Wert 1

somit ist |x| < 1 konvergent und für |x| > 1 divergent

Wenn ich also die Randpunkte x1 = 1 u. x2= -1 betrachte komme ich auf die Lösung, dass die Randpunkte beide jeweils Konvergieren.

Jedoch ist in der Lösung meiner Professorin folgendes angegeben → [-1 , 1 ] 

ich verstehe jedoch nicht weshalb...

Text erkannt:

$$ (-1,1) $$

Answer 1

Für \( x \in (-1,+1) \) stimmt Deine Lösung.

Für \( x = 1 \) ergibt sich die Partialsumme $$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} \ge \sqrt{n} $$ Also divergiert die Summe.

Für \( x = -1 \) haben wir $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{ (-1)^k }{ \sqrt{k} } $$ Hier kann man das Leibnitz Kriterium anwenden.

Genauer gilt $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{ (-1)^k }{ \sqrt{k} } = (\sqrt{2} - 1 ) \zeta \left(\frac{1}{2} \right) $$ mit der Riemannschen Zetafunktion \( \zeta() \)