Aufgabe:
1. Gegeben ist die Potenzreihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 k} \cdot 6^{k}}(x+8)^{k} \). Bestimmen Sie den Mittelpunkt x0 und den Konvergenzradius r.
2. Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der Potenzreihe in den Randpunkten
x0 ± r des Konvergenzintervalls.
Problem/Ansatz:
1. Das Cauchy-Hadamard-Kriterium besagt, dass der Konvergenzradius r einer Potenzreihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k}\left(x-x_{0}\right)^{k} \) durch die Formel \( r=\frac{1}{\limsup _{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\left|a_{k}\right|}} \) gegeben ist.
In dem Fall \( a_{k}=\frac{1}{\sqrt{2 k} \cdot 6^{k}} \) und \( x_{0}=-8 \). Berechnung des Grenzwert des Ausdrucks \( \limsup _{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\left|a_{k}\right|} \) :
\( \limsup _{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\left|a_{k}\right|}=\limsup _{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\left|\frac{1}{\sqrt{2 k} \cdot 6^{k}}\right|} \)
\( \limsup _{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{a_{k}}=\limsup _{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\frac{1}{\sqrt{2 k} \cdot 6^{k}}}=\limsup _{k \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[k]{\sqrt{2 k} \cdot 6^{k}}} \)
\( \sqrt[k]{\sqrt{2 k} \cdot 6^{k}}=\sqrt[k]{\sqrt{2 k}} \cdot \sqrt[k]{6^{k}}=\sqrt[k]{\sqrt{2 k}} \cdot 6 \)
\( \lim \limits_{\sup _{k \rightarrow \infty}} \frac{1}{\sqrt[k]{\sqrt{2 k} \cdot 6^{k}}}=\frac{1}{1 \cdot 6}=\frac{1}{6} \)
Somit ist der Konvergenzradius \( r \) der gegebenen Potenzreihe \( r=\frac{1}{\frac{1}{6}}=6 \). Der Mittelpunkt \( x_{0} \) bleibt unverändert bei \( x_{0}=-8 \).
2.
Mittelpunkt \( x_{0}=-8 \) und den Konvergenzradius \( r=6 \). Berechnung Randpunkte \( x_{1}=-8+6=-2 \) und \( x_{2}=-8-6=-14 \)
Randpunkt \( x_{1}=-2 \) :
Einsetzen \( x=-2 \) in die Potenzreihe ein:
\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 k} \cdot 6^{k}}(-2+8)^{k}=\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 k} \cdot 6^{k}} \cdot 6^{k}=\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 k}} \)
Da die Reihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 k}} \) eine \( \mathrm{p} \)-harmonische Reihe mit \( p=\frac{1}{2} \) ist, konvergiert sie gemäß dem p-harmonischen Konvergenzkriterium. Daher konvergiert die Potenzreihe im Punkt \( x_{1}=-2 \)
Randpunkt \( x_{2}=-14 \) :
Einsetzen \( x=-14 \) in die Potenzreihe ein:
\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 k} \cdot 6^{k}}(-14+8)^{k}=\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 k} \cdot 6^{k}} \cdot(-6)^{k} \)
In diesem Fall haben wir den alternierenden \( \operatorname{Term}(-6)^{k} \). Daher können wir das LeibnizKriterium für alternierende Reihen anwenden. Das Kriterium besagt, dass eine alternierende Reihe konvergiert, wenn die Beträge der Glieder monoton gegen Null konvergieren.
In unserem Fall konvergieren die Beträge der Glieder \( \frac{1}{\sqrt{2 k} \cdot 6^{k}} \) gegen Null für \( k \rightarrow \infty \). Daher konvergiert die Potenzreihe im Punkt \( x_{2}=-14 \).
Zusammenfassend konvergiert die Potenzreihe in den Randpunkten \( x_{1}=-2 \) und \( x_{2}= \) -14 des Konvergenzintervalls.
Ich wollte einfach wissen, ob ich den Konvergenzradius richtig gerechnet habe, weil ich echte Probleme hatte mit \( \sqrt[k]{\sqrt{2 k} \cdot 6^{k}}=\sqrt[k]{\sqrt{2 k}} \cdot \sqrt[k]{6^{k}}=\sqrt[k]{\sqrt{2 k}} \cdot 6 \).
Udn ich wollte, wissen ob ich je nach meinen angaben, den Konvergenzverhalte richtig berechnet habe.
Ich würde mir gerne wünschen, dass mir jemand helfen könnte und mir auch auch sagen könnte, wo ich fehler hab und wie ich die beheben könnte