Bestimmung des Konvergenzradius einer komplexen Potenzreihe

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie den Konvergenzradius der Potenzreihe

\( \sum\limits_{n=17}^{\infty}{\frac{(2+i)^n}{(2i)^n}z^n} \)

Ansatz:

Es ist \( a_n = \frac{(2+i)^n}{(2i)^n} \).

Für den Konvergenzradius R gilt

R = \( \frac{1}{\rho} \) mit \( \rho = \limsup\limits_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \).

Comments

Und warum wendest du die Cauchy-Hadamard-

Formel, die du selbst für \(\rho\) angegeben hast, nicht an?

Answer 1

Endlich viele Reihenglieder ändern, z.B. weglassen,

ändert nicht das Konvergenzverhalten.

Setzt man \(y=\frac{2+i}{2i}z\), dann geht die Reihe über in die

geometrische Reihe \(\sum y^n\).

Diese hat den Konvergenzradius 1, d.h. sie konvergiert

für \(|y|< 1\) und divergiert für \(|y|>1\),

das heißt \(\frac{|2+i|}{|2i|}|z|<1\) bzw. \(>1\), also \(\frac{\sqrt{5}}{2}|z|< 1\) bzw. \(>1\),

also \(\rho=\frac{2}{\sqrt{5}}\).<--- Hier ist eine Bezeichnungsfehler:

Es muss \(R=\frac{2}{\sqrt{5}}\) heißen.

Danke Discipulus für die Richtigstellung.

Comments

Ich habe die Cauchy-Hadamard-Formel nun folgendermaßen angewendet:

\( \rho = \limsup\limits_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{ \left| \frac{(2+i)^n}{(2i)^n} \right|} = \limsup\limits_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{ \frac{|2+i|^n}{|2i|^n}} = \frac{|2+i|}{|2i|} = \frac{\sqrt{5}}{2}  \)

Also

\( R = \frac{1}{\rho} = \frac{2}{\sqrt{5}}   \)

Jedoch entspricht dies genau dem Kehrwert deiner Lösung, was mich verunsichert.

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Ja. Das ist nur eine Bezeichnungsproblem gewesen.
ich habe \(\rho\) und \(R\) vertüdelt.

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Alles klar. Danke für die Antwort.